Навігація


Головна
Авторизація/Реєстрація
Розподіл СтьюдентаРозподіли "хі-квадрат", Стьюдента і ФішераЯк визначити рівень каналу розподілу?Критерій Стьюдента tОцінювання достовірності значень за t - критерієм СтьюдентаМіжнародні канали розподілу продукціїРОЗПОДІЛ ТА ЗБУТ У КОМПЛЕКСІ МАРКЕТИНГУ ПІДПРИЄМСТВААНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВВизначення цілей і завдань розподілуВибір каналів розподілу
 
Головна arrow Статистика arrow Статистика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Розподіл Стьюдента

При розгляді питання середньої арифметичної у вибірках, які взяті з генеральної сукупності і підпорядковуються закону нормального розподілу, стає очевидним те, що цей розподіл залежить від середнього квадратичного відхилення (ст

У практичних розрахунках значення генерального стяк правило, невідоме, що призводить до певних розрахункових ускладнень. Ця обставина спонукала англійського статистика В.С.Госсета (він друкувався під псевдонімом Стьюдент) зайнятися пошуком такого розподілу середньої арифметичної, який не залежав би від параметра °.

Поставлена задача Стьюдентом була вирішена у 1908 р. (у цей час він був службовцем на пивоварному заводі у м. Дубліні).

Відкритий закон розподілу підняв на нову сходинку теорію статистичного оцінювання і теорію перевірки статистичних гіпотез. У чому ж виражається розподіл, досліджуваний Стьюдентом? Він

- X

-="

встановив, що імовірність нормованого відхилення а (пізніше Р.Фішер створив більш строгий теоретичний

фундамент: п~ виражається рівнянням:

р(г = с (1+-?-) ~ ~

п-1

де P(X) - імовірність того, що стандартизована різниця між ~ і х має величину "; С - деякий коефіцієнт, який залежить від обсягу вибірки. Величина його становить:

с. ^

^(п -1) х Г(^

(") '

де Г v і Г v - гама - функції.

Повна формула закону розподілу нормованого відхилення має вигляд:

ІД) "2 і

Р(') =П-=-- х (1 + ^)

п (п -1) Г (^ П-

Закону розподілу "-Стьюдента підпорядковуються малі вибірки, які одержані з нормального розподілу сукупностей. Характерною особливістю даного розподілу є те, що ймовірність значення X залежить від двох величин: обсягу вибірки (п) і нормованого відхилення (ґ) . Причому п береться числом ступенів вільності ( уу=п-

При збільшенні чисельності вибіркової сукупності розподіл Стьюдента наближається до нормального:

Р(І) =~і= е

л/277

У спеціальній літературі є доведення, що при необмеженому зростанні обсягу вибірки розподіл Стьюдента прагне до нормального закону розподілу.

Якщо вибірка достотно мала (п < 15), розподіл імовірностей буде відрізнятися від нормального і тим більше, чим менший обсяг вибірки. Крива розподілу у таких випадках ніби розтягується (рис.15). Із збільшенням обсягу вибірки розподіл Стьюдента досить швидко наближається до нормального, зокрема, при п = 20 він практично не відрізняється від нього.

Рис. 17. Розподіл Стьюдента (I) на фоні нормальної кривої (2)

Із сказаного виходить, що розподіл Стьюдента являє собою частковий випадок нормального розподілу і відображає специфіку варіації для нечисленної вибірки, яка розподіляється за нормальним законом розподілу залежно від п .

Показники рівнів імовірності (Р(і)), що розподіляється за законом Стьюдента, дано в стандартній математичній таблиці "Імовірності ґ-розподілу по Стьюденту для малих вибірок (у межах ± ?)" (додаток2). У цій таблиці наведені рівні ймовірностей Р для кожного значення нормованого відхилення ґ при визначеному обсязі вибірки, який береться "числом ступенів вільності". Тому положення про те, що кожному обсягу вибірки відповідає певне значення і, необхідно уточнити. Тут очевидна доцільність формулювання: кожному числу ступенів вільності відповідає і-розподіл. Розглянемо приклад.

Приклад. За результатами вибіркового обстеження 10 сімей підприємств харчової промисловості отримані середні рівні місячної заробітної плати, яка припадає на одного члена сім'ї, грн.: 100, 106, 85, 94, 88, 102, 120, 60, 95, 90.

Спираючись на дані вибірки, необхідно перевірити припущення, що середній розмір зарплати, який припадає на одного члена сім'ї працівників

харчової промисловості (генеральна сукупність), дорівнюватиме 85 грн. (х

Ґрунтуючись на припущенні про нормальний характер розподілу досліджуваної ознаки в генеральній сукупності, виконуємо розрахунки:

обчислюємо параметри х = 94; °в =14,9.

Прийнявши х = 85, визначаємо числове значення нормованого " = ^1^ = -85^ = 1,91 відхилення а ,9 .Знаходимо за стандартною таблицею

(додаток 2) імовірність для " = 1,9 і числа ступенів вільності и= 10 - I. Для таких параметрів розрахункове значення ймовірності Р = 0,955. Таким чином, для числового значення величини нормованого відхилення X = 1,91 імовірність Р = 0,955. Тобто, імовірність появи значення X , більшим, ніж одержане при вибірці, буде а = I - 0,955 = 0,045, або приблизно один випадок з 20. Імовірність появи ", яке по абсолютною величиною буде більше спостережуваного значення, становитиме а =0,090, тобто приблизно один випадок з 10. Таке значення X слід визнати неістотним. Тому різниця між вибірковою і генеральною середньою не буде перевищувати 9 грн. (94-85).

Якщо визнати вибіркове значення " істотним, а таке припущення можна висунути, оскільки спостережуване значення X мало імовірне, то початкове припущення, зумовлене обчисленням значення X, буде невірним. Подібне міркування приводить до висновку про те, що середній розмір зарплати у розрахунку на одного члена сім'ї працівників досліджуваної галузі 85 грн. є

сумнівним, а різниця між генеральною (х =85) и вибірковою (х = 94) середньою легко могла перевищити 9 гривень.

Крім розглянутої вище стандартної таблиці, широке практичне застосування знаходить інша математична таблиця значень критерію X для різних рівнів значимості а= 1-Р. Вона дозволяє (при певному рівні а встановити можливі границі випадкових коливань вибіркової середньої (ха також знайти довірчий інтервал, який покриває середню арифметичну у генеральній сукупності (додаток 1).

Розглянемо випадок використання стандартної таблиці "Критичні точки розподілу Стьюдента ("-розподіл)" на наступному прикладі.

Внаслідок вибіркового обстеження 20 сільськогосподарських підприємств обласного регіону визначено середній показник вихододнів з розрахунку на одного працюючого, який виявився рівним 250, з середньої помилкою вибірки т = ±5 Потрібно визначити довірчий інтервал випадкових коливань шуканої середньої величини при рівні значимості а = 0,05.

У додатку I на перетині графи, яка відповідає а= 0,05, і рядку 20 - I =19 (число ступенів вільності) знаходимо значення і = 2,09. Отже, довірчий інтервал дорівнює ^ = ~ ± ґт = ± ,09 х = ± ,45, або закруглено 250 ± 10.

Таким чином, межі генеральної середньої дорівнюватимуть 240-260, тобто в сільгосппідприємствах обстежуваного обласного регіону середній рівень показника кількості вихододнів з розрахунку на одного працюючого буде знаходитися між 240 і 260. Дане ствердження одержане при порозі ймовірності Р =0,95. Рівень імовірності вибирається залежно від конкретних вимог вирішуваного завдання. В економічних дослідженнях використовують імовірність Р = 0,95 (0,954).

Висловлене раніше положення про те, що при збільшенні обсягу вибірки розподіл Стьюдента наближається до нормального підтверджує порівняння даних двох стандартних таблиць: "Критичні точки розподілу Стьюдента (ґ-розподіл)" (додаток 1) і "Функція нормованого відхилення" (додаток 5). Достатньо розглянути фрагмент з обох таблиць для кількох вибірок, щоб переконатися у сказаному вище висновку (табл. 46).

Таблиця 46

Витяг з стандартної таблиці ^розподілів (додаток

п

>=4)

(и=19)

(и=39)

(и=59)

(и=119)

^0,95

,78

,09

,02

,00

,98

,96

Так, у додатку 5 значенню рівня ймовірності 0,95 відповідає величина 1,96. Аналізуючи дані таблиці 46, бачимо, що при п= 60 розподіл Стьюдента майже не відрізняється від нормального:

- 1,96 = 0,04.

При невеликому обсязі вибірки ці два види розподілу мають значні чисельні відміни. Наприклад, для п =5 різниця у параметрах становитиме 2,78 - 1,96 = 0,82.

На завершення ще раз зробимо акцент на тому, що параметр

~ - х га має розподіл Стьюдента за умови, якщо досліджувана випадкова величина підпорядкована закону нормального розподілу, а середня обчислюється за вибірковими даними незалежних спостережень.

Назвемо також аспекти застосування розподілу Стьюдента.

При оцінці параметрів генеральної сукупності за даними малих вибірок (для визначення довірчих інтервалів);

При перевірці статистичних гіпотез відносно параметрів генеральної сукупності.

 
Увага, даний текст має низьку якість розпізнавання
Для отримання якісного зображення скористайтеся доступом до завантаження
одним файлом в форматі Djvu на сторінці Зміст
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси