Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Статистика arrow Математична статистика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Метод моментів

За цим методом (запропоновано К. Пірсоном) певна кількість вибіркових моментів (початкових vk або центральних mk, або тих і інших) прирівнюють до відповідних теоретичних моментів ( ~k або щ ) розподілу випадкової величини X. Нагадаємо, що вибіркові моменти визначаються за формулами (2.13 - 2.20 ), а відповідні теоретичні моменти - за формулами (3.14 - 3.39). Отже, оцінки невідомих параметрів є рішенням системи рівнянь. Кількість рівнянь визначається кількістю параметрів, що підлягають оцінюванню.

Приклад 4.1. Визначити точкові оцінки випадкової величини X, що має нормальний розподіл, за методом моментів.

Рішення:

Щільність нормального розподілу випадкової величини X має вигляд

f (x; fi,a ) = exp<!--- з двома невідомими параметрами: серед-

л/2я-сг2 І 2° J

нім іл = M[X] = v1 (3.36) і дисперсією о2 = D[X] = m2 (3.37), які є першим

початковим і другим центральним теоретичними моментами.

Відповідні вибіркові моменти мають вигляд: v1 = - Еxi і m2 = v2 - vx2 .

n і=1

Звідси визначається система з двох рівнянь:

1 "

ﳥ1

Рішення системи рівнянь дає оцінки середнього juMM і дисперсії сгмм за методом моментів

Ь = 2 (4.7)

= з

Як бачимо, точковими оцінками середнього і дисперсії випадкової величини x, що має нормальний розподіл, є вибіркові середнє X і дисперсія з2.

Оцінювання за методом моментів є спроможним, порівняно простим у розрахунках, але за показником ефективності не "найкращим". Основним методом отримання оцінок параметрів генеральної сукупності вважається метод максимальної правдоподібності, запропонований Р.Фішером.

Метод максимальної правдоподібності

Основу метода складає функція правдоподібності Ь(х; ©) , яка виражає ймовірність спільної появи результатів вибірки хь х2, хп:

ц х1, х2, - , Хп ;®) = ф( Х1,@) -ф( Х2,&) ■■■■?( Хп , ©).

Згідно з метод максимальної правдоподібності за оцінку невідомого параметра © приймається таке значення ®п, яке максимізує функцію ц( х;0) 20.

Приклад 4.2. Визначити точкові оцінки параметрів випадкової величини x, що має нормальний розподіл, за методом максимальної правдоподібності. Рішення:

Щільність нормального розподілу випадкової величини x визначається

і має два параметри: середнє ц і дисперсію а2, які слід оцінити. Функція правдоподібності має вигляд

Після логарифмування потримаємо

20 Див., наприклад, Н.Кремер [41, С. 303-305].

ТІ 1 п

1пЬ = --(1па2 +111(2*)) - -- X(хі - /и)2. (4.10) 2 2сг ,=1

Для знаходження параметрів ц і а2 часткові похідні за цими параметрами

необхідно прирівняти нулю і розв'язати відповідну систему рівнянь:

--= - їй (хі = 0

'а іп ь 1 л ( )2 п 0 (4.11)

З першого рівняння (для (72>0) отримаємо

п п п п 1 п ,

X(х, = Ех, = Ех, "п<"=0, звідки М = -2^х, , тобто

¿=1 ¿=1 ¿=1 ¿=1 п і=1

ї ™ = (4.12)

З другого рівняння після скорочення (для о2>0) і підстановки отримаємо

-X (х, - X)2 - п = 0, звідки а2=~2І(х, ~ Х)2 , тобто

= ^ (4.13)

Таким чином, оцінками за методом максимальної правдоподібності математичного сподівання /йямп і дисперсії випадкової величини x, що має

нормальний розподіл, є відповідно вибіркове середнє x і вибіркова дисперсія ^2 . Оцінки за методом моментів і методом максимальної правдоподібності для середнього і дисперсії співпадають, але тільки для випадкової величини x, що має нормальний розподіл.

Оцінки максимальної правдоподібності, як правило, є спроможними і асимптотично ефективними. Основний недолік цього методу пов'язаний з труднощами розрахунку оцінок, а також і те, що для побудови оцінок і забезпечення їх "найкращими" властивостями необхідно знати закон розподілу випадкової величини, що у багатьох випадках виявляється практично нереальним.

 
Увага, даний текст має низьку якість розпізнавання
Для отримання якісного зображення скористайтеся доступом до завантаження
одним файлом в форматі Djvu на сторінці Зміст
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші