Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Статистика arrow Математична статистика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Дисперсія випадкової величини

Математичне сподівання показує, навколо якої чисельної міри групуються значення випадкової величини. Проте, необхідно також мати можливість вимірювати мінливість (варіативність) випадкової величини щодо математичного сподівання. Таким показником мінливості є математичне сподівання квадрату різниці між випадковою величиною та її математичним сподіванням, а саме M[(X - М[Х])2 ].

Означення. дисперсією випадкової величини x називається число14 DX] = M[(X-M[X])2], (3.30)

або DX] = ±f(xt) o(*, - M[X])2.

На рис.3.26 наведено формули для розрахунку розподілу - статистичної ймовірності fx;) - а також показників: математичного сподівання М[Х] (комірка Е9) і дисперсії D[X] (комірка G9).

14 Пропонуємо порівняти це означення з означенням вибіркової дисперсії

s2.

Рис. 3.26. Формули розрахунку м[х] і 0[Х] У таблиці рис.3.27 показано результати розрахунку математичного сподівання м[х] і дисперсії 0[Х] за даними приклада 3.14, а також гістограму розподілу м[х] = 4,00 (комірка Е9) і дисперсія 0[Х] = 1,00 (комірка в9).

Математичне сподівання показує, що значення випадкової величини x групуються біля значення 4,00, кількість яких становить 50% від загальної кількості. Проте, навколо такого ж значення можуть групуватися й інші дані.

Таблиця і гістограма розподілу з А/[Х]=4,00 і £>[Х]=1,00

Рис. 3.27. Таблиця і гістограма розподілу з А/[Х]=4,00 і £>[Х]=1,00

З рис.3.28 видно, що для математичного сподіванням[х] = 4,00 дисперсія £>[Х] = 2,32 є удвічі більшою, ніж за даними рис. 3.27. Про значну мінливість свідчить й відповідна гістограма.

Таблиця і гістограма розподілу з М[Х]=4,00 і £>[Х]=2,32

Рис. 3.28. Таблиця і гістограма розподілу з М[Х]=4,00 і £>[Х]=2,32

Пропонуємо порівняти таблиці і графіки рис. 3.27 і 3.28 і зробити висновки. Властивості дисперсії випадкової величини, які постійно використовуються у ймовірносно-статистичних методах:

o якщо x - випадкова величина, а і Ь - деякі числа, У = ах+Ь, то

D[ax+b] = a2D[X] (3.31)

  • (це значить, що число а як параметр масштабу суттєво впливає на дисперсію, тоді як число b - параметр зсуву на значення дисперсії не впливає);
  • o якщо X1, X2, Xn - попарно незалежні випадкові величини (тобто Xt і X незалежні для i Ф j ), то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій

D[X1 + X2 + ... + Xn] = D[X1] + D[X2] + ...+D[Xn]. (3.32)

Співвідношення щодо математичного сподівання (3.25) і дисперсії (3.32) мають важливе значення при вивченні вибіркових властивостей, оскільки результати вибіркових спостережень або вимірів розглядаються в математичній статистиці, як реалізації незалежних випадкових величин.

З дисперсією випадкової величини тісно зв'язаний ще один показник мінливості - стандартне відхилення.

Означення. Стандартним відхиленням випадкової величини x називається невід'ємне число

SD[ X ] = +VD[X]. (3.33)

Отже, стандартне відхиленнях однозначно зв'язано з дисперсією.

У теорії та практиці статистичних досліджень також важливу роль відіграють спеціальні функції - так звані моменти (початкові і центральні), які є характеристиками випадкових величин.

Означення. Початковим моментом k-то порядку випадкової величини x називається математичне сподівання k-ї степені цієї величини:

~k = M[ Xk ].15 (3.34)

Означення. Центральним моментом k-то порядку випадкової величини x називається математичне сподівання k-ї степені відхилення цієї величини x від його математичного сподівання:

m = m[x - M(X)Y, (3.35)

або mk = M[X - a]k, де a = M[X].

Для позначення мометнів випадкових величин використовуємо ті ж самі літери, що і для мометнів варіаційного ряду, але з додатковим знаком ~ ("тільда").

Формули для обчислення моментів дискретних (які приймають значення Хі з імовірністю р,) і неперервних (зі щільністю ймовірності /х)) випадкових

величин наведено у табл. 3.4.

Таблиця 3.4

Формули для обчислення моментів випадкових величин

Як і для варіаційних рядків моменти дискретних випадкових величин мають аналогічний сенс:

Перший початковий момент (¿=1) випадкової величини Хе її математичним сподіванням:

~1 = М[Х] = ц. (3.36)

Другий центральний момент (¿=2) визначає дисперсію 0[Х] випадкової величини x:

Шг (хі - а)2 рі = ЦХ] = (Т2. (3.37)

Третій центральний момент (¿=3) характеризує асиметрію розподілу випадкової величини x:

п

Коефіцієнт асиметрії а розподілу випадкової величини x має вигляд:

-Г = ~X(хі " а)3Рі = А. (3.38)

Четвертий центральний момент (¿=4) характеризує крутість розподілу випадкової величини.

На основі порівняння значень теоретичних і вибіркових моментів виконується оцінювання параметрів розподілів випадкових величин (див., наприклад, розділи 4 і 5).

Як відзначалося вище, в математичній статистиці використовуються два паралельних рядка показників: перший - має відношення до практики (це показники вибірки), другий - базується на теорії (це показники імовірнісної моделі). Співвідношення цих показників представлено у табл. 3.5.

Таблиця 3.5

Співвідношення показників емпіричної вибірки й імовірнісної моделі

Таблиця 3.5 продовження

Отже, метою описової статистики є перетворення сукупності вибіркових емпіричних даних на систему показників - так званих статистик, що мають відношення до реально існуючих об'єктів. Так, психологи, педагоги, інші фахівці працюють у реальній сфері, об'єктами якої є особи, групи осіб, колективи, характеристиками для яких служать емпіричні показники. Проте основна мета дослідження - це здобуття нового знання, а знання існує в ідеальній формі у вигляді характеристик теоретичних моделей. Звідси виникає проблема коректного переходу від емпіричних показників реальних об'єктів до показників теоретичної моделі. Цей перехід потребує аналізу як загальних методичних підходів, так і строгих математичних підстав. Принципову можливість тут відкриває закон великих чисел, теоретичне обгрунтування якому було надане Якобом Бернуллі (1654-1705), Пафнутієм Львовичем Чебишевим (1821-1894) та іншими математиками XIX ст.

Запитання. Завдання.

  • 1. Розкрийте поняття випадкової величини.
  • 2. Чим відрізняються дискретна і неперервна випадкові величини?
  • 3. З яких елементів складається імовірнісний простір?
  • 4. Як побудувати розподіл дискретної випадкової величини?
  • 5. Як зв'язані між собою функція щільності Л(х) і функція розподілу Б(х)?
  • 6. Надайте геометричну інтерпретацію інтегралові Б(со) = | Л(х)сх = 1.
 
Увага, даний текст має низьку якість розпізнавання
Для отримання якісного зображення скористайтеся доступом до завантаження
одним файлом в форматі Djvu на сторінці Зміст
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші