Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Страхова справа arrow Страхування
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Ймовірність банкрутства в класичній моделі ризику

Природно поставити питання про ймовірність банкрутства страхової компанії, яка має початковий капітал u, на інтервалі часу [0, + ао). Позначимо цю ймовірність через і(и). Очевидно, що ф(и) = Р < 0 при деякому t > О}. Будемо розглядати таку функцію

(p(u) = l-v|/(w), (27.8)

яка виражає ймовірність того, що на інтервалі часу [0,+ оо) банкрутство не відбувається. Наведемо без доведення наступну теорему.

Теорема 27.2 і. Функція (р(и) диференційована і задовольняє інтегродиференціальне рівняння

X Х"е

q>'(u)=-<p(u)- L(u-z)dF(z). (27.9)

с сJ

о

Зауважимо, що рівняння (27.9) можна отримати і обходячи припущення про диференційованість функції (p(u). Також можна встановити інтегральне рівняння для (p(u).

Теорема 27.32. Функція ф(и) задовольняє інтегральне рівняння - и

Ф(и) = ф(0) + - Гф(и - г)(1 - F{z))dz. (27.10)

сї

Функція ф(ц) обмежена (це ймовірність, і тому 0 <> ф(ц) й 1) і монотонно не спадає (у разі збільшення початкового капіталу ймовірністьнебанкрутствазбільшується). Томуіснує lim ф(и) = = ф(+ао). Переходячи до границі при и->-ко в обох частинах рівності (27.10), будемо мати

ф(+оо) = ф(0)+-цф(+оо), (27.11)

с

-не

ДЄ |і= (1-F{z))dz.

Звідси ф(0) = Гі--^ф(+оо).

Якщо є ненульовий розв'язок інтегрального рівняння (27.10), то природно вважати, спираючись на теоретико-ймовірнісний зміст ф(и), що ф(+оо) = 1 (при нескінченному початковому капіталі банкрутство не відбудеться). Таким чином,

Ф(0)=1-(^1 Оскільки ф(0)>0, то

Зазначимо, що ^=(~~^^) = с~(^/ Випадковий процес

5, є однорідним процесом з незалежними приростами і

= Хи*. Тому відповідно до підсиленого закону великих чиєї

сел з імовірністю одиниця - -> А.ц. Для застосування закону

великих чисел досить зауважити, що за будь-якого ї і будь-якого п величину 5, можна представити у вигляді суми п незалежних однаково розподілених випадкових величин:

Якщо с < А.ц, то процес (її з ймовірністю одиниця прямує до -оо і тому за будь-якого и з ймовірністю одиниця відбувається банкрутство. У цьому випадку (р(и) = 0 (рівняння (27.10) не має обмеженого розв'язку). У випадку с = Хц теж у(и) = 0 і рівняння (27.10) має лише нульовий розв'язок. Надалі ми будемо припускати, що с > А.Ц,

Сформулюємо важливий результат, що випливає з попередніх теорем, який ми будемо використовувати в подальших дослідженнях.

Теорема 27.4і. Якщо виплати є експоненціально розподіленими випадковими величинами з математичним сподіванням и, то ймовірність банкрутства Ці(и) за початкового капіталу и дорівнює

Г х

М/(и)=ГГеЄ< + >^ ЯКЩ° С>^' (27.12)

1, якщо с й

За допомогою перетворення Лапласа функції ср(м), заданої рівністю (27.10), можна отримати явний вигляд цієї функції у випадку, якщо сума виплат страхової компанії є константою.

Теорема 27.5і. Якщо в моменти часу х12,...,тп,... стрибків процесу Пуассона виплачується одна сума а і ока, то ймовірність небанкрутства за початкового капіталу и дорівнює

= (і-Їі)у±-(АV (Ц _ ка)1 ехр(-(и - каі (27.13) V с ;£ок с) [с )

х + х Г*. х*0, ДЄХ+ 2 І0. *<0.

2 [0, *<0.

Асимптотична поведінка ймовірності банкрутства за великих обсягів початкового капіталу

Дослідимо асимптотичну поведінку ймовірності банкрутства і(и) на проміжку [0,+) за початкового капіталу и, якщо и -> +<*>.

Користуючись рівнянням (27.10) та враховуючи, що ф(и) = 1 - А.цс, можна отримати таку рівність2:

і|/(и) = - {(1-^(2))^+- ||/(іг-2)(1-^(2))гіг. (27.14)

С и С 0

Позначимо

Ц=- уеНу[1'Р(у)Щ (27.15)

Тоді має місце теорема, яка є однією з найважливіших в ак-туарній математиці.

Теорема 27.6а. Нехай - <1, рівняння

с

- [вЯу[1-^(і/)]^=1 (27.16)

с J

має корінь Я і ц < +оо. Тоді при и -> +°о

ц(и)--^=еНи. (27.17)

У1 (1 + Є)Дц

Запис y(u)~g(u) при и-"-н" означає, що Ііш =1.

Дослідимо умови існування кореня рівняння (27.16). Нехай +00

7і(г) = МегУі -1= |е"<Щг)-1. (27.18)

о

Зробимо такс припущення.

Припущення. Існує г > 0 таке, що Л(г) Т+оо, коли г Т гк (допускається і можливість г = -Ьоо).

За цього припущення рівняння (27.16) можна записати у вигляді

Л(Я)=-Я, або /і(Я)=(1+6)иД. (27.19)

А.

Лема 27.1і. При зроблених припущеннях рівняння (27.19) має єдиний додатний корінь Я, причому і? <

Таким чином, теорема 27.6 може бути переформульована так.

Теорема 27.72. (Теорема Крамера - Лундберга). При зроблених припущеннях відносно &(г) і при и -> +оо

4>(и)--^У-ге"Ии. (27.20)

де /? - корінь рівняння (27.19).

Праву частину (27.20) називають апроксимацією Крамера - Лундберга, а число Я - коефіцієнтом Лундберга або характеристичним коефіцієнтом.

Якщо виплати є експоненціально розподіленими випадковими величинами з математичним сподіванням и, то 1 гь

Л(г)=--1=--. Тоді рівняння (27.19) має вигляд

  • 1-гр 1-гр Яц , " .
  • --=(1 + 0)Яц. Це рівняння має тривіальний корінь 0 та єди-
  • 1-Яц

ний додатний корінь Я =-, що і є характеристичним

. 0 + 0)ц

коефіцієнтом.

Зауважимо, що у випадку експоненціального розподілу апроксимація Крамера - Лундберга є точною1.

Оцінка для ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику

Будемо продовжувати досліджувати ймовірність ц/(ц) банкрутства на [0,+оо) у класичній моделі ризику за початкового капіталу и. Будемо вважати, що о А.и (якщо с < Хр, то банкрутство відбувається з імовірністю 1). У попередньому пункті за певних припущень ми встановили асимптотичні формули для і(и) за великих значеннях и.

Виявляється, що можна вказати оцінку зверху для ймовірності |/(и), яка справедлива при всіх ц > 0. А саме має місце така теорема.

Теорема 27.82. Нехай рівняння

-е""[1-Р(у)]<Іу = 1 (27.21)

с о

має додатний корінь Я. Тоді при всіх и > 0 виконується нерівність

у(и)<е-Ли. (27.22)

Нерівність (27.22) називають нерівністю Крамера - Лундберга. Доведення цієї нерівності можна знайти також у роботі Г.І. Фаліна3.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші