Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Логіка arrow Логіка
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Логіка предикатів

Логіка предикатів розділ класичної символічної логіки, що вивчає суб'єктно-предикатну структуру висловлювань, на підставі чого визначають значення істинності висловлювань; по-іншому - це дедуктивна теорія, яка моделює процес виведення одних висловлювань із інших, враховуючи їх структуру. Логіку предикатів трактують як розширення логіки висловлювань через виявлення внутрішньої структури висловлювань і введення нових термінів та системи аксіом.

Логіка предикатів як система створюється відповідно до загальних принципів побудови формальних систем (див. '1.1). Особливість логіки предикатів полягає в тому, що вона є складнішою і за семантикою, і за синтаксисом порівняно з логікою висловлювань. Розрізняють семантику та синтаксис логіки предикатів.

У семантичному аспекті визначають суб'єктно-предикатну структуру висловлювань на змістовному рівні. Це дає змогу виявити властивості, притаманні певній сукупності емпіричних або абстрактних об'єктів, і ввести терміни, котрі відокремлюють сферу дії предикатів, - висловлювання, властивість, відношення, предикат, одномісний предикат, багатомісний предикат, квантор загальності, квантор існування, істиннісне значення висловлювання.

Висловлюванню, в якому емпіричному чи абстрактному об'єктові приписують певну властивість Р або визначаються відношення між об'єктами, надають два значення істинності: "істина" (і); "хибність" (х). Відповідно, логіка предикатів - двозначна за кількістю значень істинності висловлювань.

У синтаксичному аспекті суб'єктно-предикатну структуру висловлювань визначають у процесі абстрагування від їх змісту та формалізують засобами штучно створеної мови, на підставі чого здійснюють логічні операції над символами, що зображають ці відношення (числення предикатів).

Структура логіки предикатів (ЛП) - алфавіт, правила побудови формул із символів алфавіту, правила дедуктивного виведення з аксіом нових формул (доведення теорем), правила інтерпретації.

Мова логіки предикатів - це система символів, що створюють алфавіт. До нього належать символи, введені в логіці висловлювань, і нові символи, які позначають терміни, введені в логіці предикатів.

Алфавіт:

  • - символи, що позначають елементарні (прості) висловлювання (формули, формальні вирази) Р, Q;
  • - символи, які позначають істиннісні значення висловлювань - "/", V;
  • - символи, що позначають предметні (індивідні) змінні - х, у, г,... п (множинність предметних змінних може бути безмежною);
  • - символи, які позначають предметні константи (постійні) - а, в, с, а*,... п;
  • - символи, що позначають д-місні предикати - Р, і?, РҐ Р Р o
  • - символи, котрі позначають предметні функції - Рі9 Р2, Р (верхній індекс позначає місність предметних функцій, а нижній визначає їх кількість);
  • - символ, що позначає терм г;
  • - символ, який позначає предикатну змінну X;
  • - символ, що позначає відношення предикації <=;
  • - символ, який позначає квантор загальності V;
  • - символ, що позначає квантор існування 3;
  • - символи, котрі позначають пропозиційні зв'язки (логічні сполучники, логічні постійні): кон'юнкція л, диз'юнкція v, імплікація ->, еквівалентність =, заперечення ->;
  • - технічні символи: ( - ліва дужка; ) - права дужка.

Визначимо смисл термінів, що створюють специфіку логіки предикатів, і символічно зобразимо їх штучною мовою.

Терм - будь-яка предметна константа чи предметна змінна.

Предикат (предикатор) (лат. - термін, що в традиційній логіці означає властивість, притаманну суб'єктові 5. Позначають символом Р. Зв'язок суб'єкта з предикатом виражається формулою 5 є Р.

У логіці предикатів термін "предикат" двоякий за смислом: 1. Властивість. 2. Відношення.

1. Властивість (якість, ознака, характерна особливість, атрибут) - все, що притаманне предметам, явищам, процесам об'єктивного світу, подіям і відбувається у світі як їхня сутнісна та специфічна особливість. Позначають терміном "одномісний предикат".

Одномісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає властивість. Відношення між об'єктом і його властивостями називають відношенням предикації, яке визначають через поняття "одномісна про позицій на функція", "одномісний предикат". Мовою логіки предикатів це означає встановлення відношення між терміном, що позначає емпіричний об'єкт, і терміном, що позначає абстрактний об'єкт, який виражає властивість Р, притаманну емпіричному об'єктові. Термін "емпіричний об'єкт" визначають як предметний (індивідний) концепт, термін "абстрактний об'єкт" - як предикатний концепт, а відношення між ними - як двомісне відношення у структурі певного висловлювання. Формальний вираз такого відношення "х <= X", де "я" - предметна змінна для термінів, що позначають емпіричний об'єкт; "X" - предикатна змінна для термінів, що позначають абстрактний об'єкт; <= - символ предикації. Приклад такого двомісного відношення - висловлювання "Україна є республікою", де "Україна" - термін, що позначає емпіричний об'єкт, тобто Українську державу, а "республіка" - - термін, що позначає абстрактний об'єкт, тобто властивість, притаманну Українській державі - "бути республікою" (за формою державного правління). Послідовна формалізація цього висловлювання мовою логіки предикатів така: - Р,(х) - одномісна пропозиційна функція; х <=. Р(Х), де "дг" - символ для позначення предметного (індивідного) концепта "Україна" (Українська держава); <= - символ предикації; Р{Х) - символ для позначення предикатного концепта (властивості) "республіка".

Відношення (лат. relatio - відношення) - співвіднесення; взаємозалежність двох і більше предметів у їх взаємозв'язку; відношення між двома і більше предметами (об'єктами міркувань. Позначається терміном "багатомісний предикат" (л-міс-ний предикат).

Багатомісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає відношення між двома і більше емпіричними чи абстрактними об'єктами.

Для визначення відношень вводять непорожній клас або множину М, у межах якої задають відношення R між її елементами. Залежно від відокремленої множини М відношення R виражають словами "рівність", "нерівність", "подібність", "дружба", "кохання", "рідня", "сучасник" тощо. Розрізняють бінарне, тернарне та інші види відношень.

Бінарне відношення - множина М, елементами якої є впорядковані пари (х, у), що вказують на відношення між двома предметами, пов'язаними цим відношенням. Символічно Щх, у). Наприклад, у системі відношень між натуральними числами бінарні відношення виражають словами "рівності", "більше", "менше", "ділиться" і под.("Число 5 менше числа 9"). У системі відношень між родичами бінарні відношення виражаються словами "мати", "батько", "син", "брат" та ін. ("Павло - брат Петра", "Ігор - син Василя"). У системі правовідношень, що регулюються, скажімо, Цивільним кодексом, використовують слова, "позивач", "відповідач" і под. ("Особа х позивач до особи у").

Формальний вираз таких висловлювань - xRy, де х, у - предмети, про які йдеться у міркуваннях, а/2 - символ, що позначає відношення (чит.: х перебуває у відношенні R до у).

Висловлювання, яке містить бінарне відношення (ті = 2-міс-ний предикат), має властивості рефлексивності, нерефлексивності, симетричності, несиметричності, транзитивності, еквівалентності.

Властивість рефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у в множині М, коли кожен з них перебуває у відношенні R до самого себе. Формально: хВу -> -> ((xRx) А (yRy))t де -> - символ слідування (імплікації); л - символ кон'юнкції.

Властивість рефлексивності притаманна відношенню рівності (наприклад, для множини предметів певного виду кожен предмет рівний самому собі), конгруентності (для множини геометричних фігур) та ін.

Властивість нерефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини Му коли кожному з них не притаманна властивість перебувати у відношенні до самого себе. Формально: xRy -> ((-> хЯ*) л (-o yRy)).

Властивість нерефлексивності притаманна відношенню "бути елементом множини", "нерівності", "бути причиною" (х не може бути причиною самої себе) та ін.

Властивість симетричності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини А/, коли наявність відношення xRy зумовлює відношення yRx. Формально: (xRy) -> ~> №х).

Властивість симетричності притаманна відношенню рівності, подібності, родинності, дружби тощо. Наприклад: Якщо "я - брат у, то у - брат х".

Властивість антисиметричності (несиметричності) - така властивість відношення R між предметами х та у множині М, коли наявність відношення xRy не зумовлює зворотного відношення уВх. Формально: (хЯу) -" -> (xRy) А -* (уЯх).

Властивість антисиметричності (несиметричності) притаманна відношенню, що виражають словами "бути більше, "бути менше", "бути краще", "бути причиною", "бути мотивом" та ін. Наприклад: "х - причина дії у" (якщо х причина у9 то у не може бути причиною х); "х - мотив дії у" ("Заздрість - мотив скоєння злочину особою І/").

Властивість транзитивності (лат. - перехід) така властивість відношення R між х, у, г для множини М, коли з того, що х перебуває у відношенні Я з у, а у - у відношенні Я з 2, то випливає, що х перебуває у відношенні R з г.

Формально: ((xRy) л (yRz)) -> (xRz), де л - символ кон'юнкції, -> - символ слідування.

Властивість транзитивності притаманна відношенням R, що виражають словами "рівність", "подібність", "паралельність" і под. Наприклад, якщо * рівне і/, а у рівне г, то х рівне z.

Якщо бінарне відношення водночас має властивості рефлексивності, симетричності й транзитивності, то воно набуває властивості еквівалентності (лат. aequalis - рівний, valentis - той, що має; рівнозначність, рівносильність).

Властивість еквівалентності притаманна відношенню R і виражається словами "рівність", "подібність", "конгруентність", "бути ровесниками", "бути водночас сучасниками події П" та ін.

Тернарне відношення - множинна М, елементами якої є впорядковані трійки (х, у, z), що виражають відношення між трьома предметами, пов'язаними між собою системою відношень. Визначають як тримісний предикат (п = 3), має символічний вираз R(x, у, z).

Тернарні відношення виражають словами "знаходиться між", "знаходиться далі від... ніж"; "бути ближче... ніж" та ін. Наприклад: "Земля знаходиться між Венерою та Марсом", "Планета Марс знаходиться далі від Сонця, ніж планета Земля".

Визначення сфери дії предиката визначають квантором.

Квантор (лат. quantum - скільки, кількість) - слово, яке називає, якій кількості предметів з певного класу (множинності), або класу загалом притаманна властивість Р. Природною мовою квантор виражають словами "всі", "кожен", "для всіх, за винятком", "деякі", "лише один", "існує".

У логіці предикатів для символічного позначення операції перетворення пропозиційної функції або предикатної формули на висловлювання виокремлюють квантор загальності й квантор існування.

Квантор загальності позначає висловлювання, в якому властивість Р приписують певному непорожньому класу загалом, що означає: для всіх елементів класу А притаманна властивість Р. Цей квантор має вираз "для всіх" ("усі", "кожний", "будь-який", "який би не був"). Його позначають символом V (перевернута перша літера німецького слова Alle - всі), а повна формула - VxP(x) (чит.: кожному х притаманна властивість Р). Так, висловлювання "Для всіх індивідів класу людей притаманна властивість "бути смертними" ("Усі люди смертні") зображають формулою Vx Р(х).

Квантор існування позначає висловлювання про певний непорожній клас, в якому властивість Р притаманна лише декотрим елементам цього класу, тобто існують елементи класу А, яким притаманна властивість Р.

Квантор існування має вираз "існує" ("деякі", "лише один"). Його позначають символом 3 (перевернута перша літера латинського слова existentia - існування), а повна формула - Зх Р(х) (чит.: "існує", яке має властивість Р). Наприклад, висловлювання "Існують люди, котрим притаманна властивість писати вірші" ("Декотрі люди пишуть вірші") зображають формулою Зх Р(х).

Квантори загальності й існування взаємозалежні, тому всі логічні операції здійснюють з визначенням логічних відношень над ними.

На підставі встановлення термінів, що виокремлюють специфіку логіки предикатів і символів алфавіту, створюють формули логіки предикатів.

Побудова формул логіки предикатів:

  • 1. Якщо F і Q - формули, то -" F; (F а Q); (F V Q); (F -> Q); (F = Q) - формули.
  • 2. Кожен д-місний предикатний символ Рл задає формулу одного з видів.
  • 3. Р(х) - формула, що виражає властивість (одномісний предикат).
  • 4. R(x, у) - формула, яка виражає двомісний предикат.
  • 5. R(x, у, г) - формула, що виражає тримісний предикат.
  • 6. Якщо Р - формула і х - предметна змінна, то V* Р(х) і ЗхР(х) є формулами.
  • 7. V* Р(х) - формула, яка виражає сферу дії квантора загальності.
  • 8. Зх Р(х) - формула, що виражає сферу дії квантора існування.

Жодних інших формул у логіці предикатів немає. Формули виду Р, F, Q - прості (елементарні), а формули виду V* Р(х), Vx Р(х, yt z), V* Зу (Р(х, у) - складні.

Далі будують формули, що визначають сферу дії квантора.

Сфера дії квантора (ОДК) означає вираз, до якого належить квантор. ОДК обмежують дужками зліва і справа від виразу. Ліва дужка означає початок сфери дії, а права дужка - закінчення. У межах ОДК виокремлюють зв'язану та вільну змінні. Змінну, що слідує безпосередньо після квантора, називають підкванторною змінною, а формула, до якої належить квантор, - підкванторною формулою, або сферою дії квантора. Зв'язана змінна - змінна, яка входить до сфери дії кванторів загальності V чи існування З або обох відразу. Наприклад, у формулах VxP(x), ЗхР(х) зв'язаною змінною є х.

Вільна змінна входить до певної формули, але не входить до сфери дії кванторів загальності V чи існування 3 на відміну від зв'язаної змінної. Так, у формулі Vx(P(x)) -> Q(x) - змінна х зв'язана так само, як у формулі Vx(P(x)), але вільна у виразі Q{x).

У логіці предикатів квантор загальності трактують як узагальнення кон'юнкції, а квантор існування - як узагальнення диз'юнкції, якщо множинність М значень змінної х є скінченною, тобто вона складається зі скінченної кількості предметів. Наприклад, М = (xlt xi¿, х3, х4) записують: 1)як кон'юнкцію одиничних висловлювань Р(хх) а Р(хг) лР(х3) а Р(х4), що означає: формула виду Vx(P(x)) еквівалентна формулі P(xt) лР(х2) а Р(х3) а Р(х4); 2) як диз'юнкцію одиничних висловлювань Р(х,) v Р(х2) v Р(х9) v Р(х4), що означає: формула виду Зх(Р(х)) - еквівалентна формулі Р(х,) v Р(х2) V Р(х3) V Р(х ).

Якщо множинність М значень змінної х є нескінченною М = (Xj, х2, х3,... хп)у то квантори загальності й існування виконують роль "нескінченних" кон'юнкцій P(xt) а Р(х2) а Р(х3) а а Р(хн) а... або "нескінченних" диз'юнкцій Р(х,) V Р(х2) V V Р(х8) V Р(хя) V...

Квантифікація (лат. quantum - скільки; facio - роблю) - визначення обсягу суб'єкта та предиката в структурі висловлювання за допомогою кванторних термінів - "усі" ("будь-який", "кожний") та "деякі"; логічна операція, за допомогою якої визначають сферу дії кванторів. Це перехід від формули виду Р(х) до формули виду Vx(P(x)) або Зх(Р(х)), унаслідок чого змінна х у формулі Р(х) перестає бути просто символом, а виражає певну властивість, притаманну класові А. Змінну х у формулі Р(х) називають вільною змінною, а після квантифікації - зв'язаною змінною, тобто у формулах Vx(P(x)) і Зх(Р(х)) змінна х стає зв'язаною.

Квантифікація висловлювань, що містять відношення (/і-міс-ні предикати), набувають такого вигляду: Р(х, у) - двомісний предикат, визначений на множинності М.

Квантор загальності та квантор існування можна використати і для змінної ху і для змінної у. Змінна, до якої використано квантор, стає зв'язаною, а друга змінна - - вільною.

За допомогою квантифікації (використання квантора для однієї зі змінних) двомісний предикат можна перетворити на одномісний, а тримісний - в двомісний і под.

Значення істинності висловлювань з кванторами загальності й існування.

Логіка предикатів є двозначною за кількістю значень істинності, тому висловлюванням із кванторами загальності й існування надають два значення істинності - "і", "х".

Для визначення істинності висловлювання з кванторами загальності або існування задають множину М з певною кількістю елементів, для якої предикат є істинним. Значення істинності визначають за допомогою таблиці істинності.

Таблиця істинності для множини М зі скінченною кількістю елементів з двомісним предикатом (х, у)'. М = (х., х2, х3, х4)

На підставі таблиці істинності визначають:

  • 1. Предикат від х для формули Уі/Р(х, у) має значення "хибність".
  • 2. Предикат від у для формули VxP(x, у) має два значення "істина" і два значення "хибність".
  • 3. Предикат від х для формули ЗуР(х, у) має значення "істина".
  • 4. Предикат від у для формули ЗхР(х, у) має три значення "істина".
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші