Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Менеджмент arrow Менеджмент организаций
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Модели теории игр

Анализ математической стороны и основных принципов теории игр был дан Джоном фон Нейманом еще в 1928 году. В этой ранней работе Нейман не разбирал практические приложения задач, сосредоточив основное внимание на логических основах квантовой механики. В1944 году фон Нейман и Моргенштерн опубликовали свою хорошо известную работу "Теория игр и экономического поведения", положившую начало бурному развитию математического исследования игр. Эта работа явилась основным толчком для развития линейного программирования и теории статистических решений Вальда. Она открыла также новый подход к задачам выбора решений в конкурентных ситуациях. За последние годы появилось несколько книг по теории игр. В книге "Введение в теорию игр" Маккинси дает прекрасный математический анализ общей теории с основным упором на игры двух лиц. Он рассматривает связь теории игр с линейным программированием и теорией статистических решений.

Природа игр

В каждой игре есть цель или конечное состояние, к которому стремятся игроки, выбирая направления допустимых по правилам игры действий. В некоторых случаях смысл игры заключается в достижении цели с наибольшей эффективностью. Эффективность может измеряться счетом, как в гольфе и бейсболе.

Игры с одним участником — игры без конкуренции. Участник играет на счет или для достижения цели.

Нас интересуют игры с конкуренцией. Конкурентная игра — это такая игра, где существует конечное состояние (выигрыш), которого добивается каждый игрок, но не каждый может его добиться. Таким образом, по отношению к этой цели игроки находятся в противоречии. Но, благодаря правилам игры, это противоречие приводит к общему направлению действий. Каждый игрок имеет множество ходов. Выбрать один из них — значит сделать ход. Партия — это последовательность или множество ходов, которые приводят игру к конечному состоянию.

Во многих играх достижение цели (Z) сопровождается каким-нибудь выигрышем, в частности, денежным. Эти выигрыши и проигрыши (отрицательные выигрыши) являются в некотором смысле способом счета игры, т.е. служат выражением эффективности.

Игра с нулевой суммой — это такая игра, в которой сумма выигрышей участников после конца игры равна нулю.

Стратегия — это установленный игроком метод выбора ходов в течение игры. Таким образом, стратегия — это совокупность правил выбора решения.

Платежная матрица — это таблица, которая определяет, какие платежи должны быть сделаны после завершения игры.

Теория игр не пытается описывать, как могла бы быть проведена игра. Она содержит процедуру и принципы, при помощи которых можно отбирать партии. В действительности теория игр является теорией принятия решений, применимой к конкурентным ситуациям.

Прямоугольные игры

Пример. Игрок А имеет три возможных плана игры (чистая стратегия): Р, Q, R. Игрок В имеет два возможных плана игры: S, Т.

Правила игры устанавливают, что в соответствии с выбранными планами приводятся следующие платежи.

Табл. 6.2.

Какова оптимальная стратегия для игроков А и В в этой игре?

Правила платежей удобно записать в матричной форме. Пусть положительное число показывает выигрыш игрока А, а отрицательное число показывает выигрыш игрока В. Тогда мы имеем платежную "матрицу" (рис. 6.4)

Рис. 6.4.

Рассмотрим игрока В. Очевидно, что план Т для него невыгоден. Если он выбирает этот план, он всегда проигрывает. Таким образом, его оптимальная стратегия — всегда выбирать план S. В худшем случае (когда А выберет план R) он проиграет 1 грн.

Теперь обратимся к игроку А. Ему достанется наибольший выигрыш, если он выберет план Q, а В выберет план Т. Но вряд ли это произойдет, т.к. из-за предыдущих рассуждений В никогда не выберет план Т. То лучшее, что может сделать А (если выберет S),— это выбрать план R, в этом случае игрок А выиграет 1 грн.

Таким образом, мы нашли полное решение игры. Кроме того, при этом решении игрок А выигрывает 1 грн, а игрок В проигрывает 1 грн. В этом случае 1 грн является ценой игры.

Такая игра называется прямоугольной игрой, так как ее матрица выигрышей прямоугольная. Чтобы получить решение прямоугольной игры, необходимо найти оптимальное решение, т.е. определить:

  • 1. Оптимальные стратегии для двух игроков.
  • 2. Цену игры.

Принцип минимакса и максимина

Пример. Рассмотрим платежную матрицу прямоугольной игры.

Рис. 6.5.

Решим задачу, пользуясь рассуждениями по предыдущему примеру (рис. 6.5 ).

М е т о д 1. Игрок А никогда не выберет план Р, т.к. он всегда с большим успехом может выбирать Q или план R. Учитывая это, игрок В не может вообще принимать расчет в план Р. В этом случае, очевидно, он не выберет Т, так как для него всегда выбор S выгоднее. В свою очередь, А основывается на том, что В выберет S, и, таким образом, его лучшая политика в игре — план R. Итак, мы пришли к решению.

Оптимальная стратегия игрока А: план R.

Оптимальная стратегия игрока В: план S.

Цена игры для А: 1 грн (выигрыш).

Цена игры для В: 1 грн (проигрыш).

М е т о д 2. Теперь рассмотрим следующие рассуждения.

Игрок А:

При плане Р его наименьший (min) выигрыш — 4 грн.

При плане Q его наименьший (min) выигрыш - 1 грн.

При плане R его наименьший (min) выигрыш +1 грн.

Наибольший (max) из наименьших (min) возможных выигрышей 1 грн. Значит, мы можем сказать, что "максимин для А" равен одной гривне (что соответствует выборам R, S).

Игрок В:

При плане S его наибольший (максимум) проигрыш 1 грн.

При плате Т его наибольший (максимум) проигрыш 3 грн.

Таким образом, (минимум) из наибольших проигрышей -1 грн. Мы говорим, что " минимакс для В" равен 1 грн (что опять соответствует выборам R, S).

В математических обозначениях "максимин" для А записывается выражением max(i) min(j) aij

Седловые точки

Не всякая прямоугольная игра приводит к решениям с единственным оптимальным выбором для обоих игроков А и В. Например, задана платежная матрица (рис. 6.6.)

Рис. 6.6.

Если А берет план Р1, то В, очевидно выберет план S. Если А выберет план Q, то В выберет план Т. Мы видим, для А нет определенного лучшего плана. То же можно сказать и об игроке В.

Используя принципы минимакса, находим:

Максимин для А = -1 грн (выбор Q, Т);

Наиболее легкий прием отыскания седловой точки заключается в определении числа, наименьшего из всех чисел своей строки и наибольшего из числа своего столбца. Если такого числа нет, то нет и седловой точки. Стратегии игроков, соответствующие найденному числу,— оптимальные стратегии игроков, а найденное число — цена игры. Если существует два или больше таких чисел, то имеется два или более решений. Каждое решение соответствует седловой точке.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші