Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Страхова справа arrow Страхування
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Змішане страхування

Страхування на дожиття строком на п років передбачає виплату після закінчення п років лише тоді, коли застрахований буде живий після п років з моменту укладення страхової угоди. Якщо сума, що буде виплачена, становить 1, то

' г0,г^д, (0,Т<п,

' [1,г>ті, 1л,Г>л.

Єдиним елементом невизначеності у страхуванні на дожиття є факт того, відбудеться чи не відбудеться страхова виплата. Розмір і час здійснення виплати за умови, що виплата відбудеться, визначені заздалегідь. У виразі Z = u*Y величина У є індикатором події "дожиття до віку х + я". Ця величина набуває значення 1, якщо застрахований доживе до віку х + п, і значення 0 у протилежному випадку. Для позначення актуарної поточної вартості страхування на дожиття строком на п років є два символи. У контексті страхування це величина Ах~.1. У наступному підрозділі ми побачимо, що в контексті ануїтетів ця величина позначається через ЛЕХ.

Д[2]=о"і>т=и""рх пдг =2 АЛ -(А^У- (25.6) Змішане страхування строком на п років передбачає виплату після смерті страхувальника або після дожиття до д-річ-ного віку залежно від того, що сталося раніше. Якщо розмір виплати - 1 і виплати на випадок смерті здійснюються в момент смерті, то

ь,=і,г£0, о, = я г= п

п,г>7і, [и",Т>п. Актуарна поточна вартість позначається через Ах-. Окрім того,

ОД=2ЛжвГажВІ)2. (25.7)

Таке страхування можна розглядати як комбінацію страхування на випадок смерті строком на п років і страхування на дожиття строком на п років - у кожному випадку з виплатою розміром 1. Нехай 2,, 22 і 23 - випадкові величини, що позначають поточну вартість угоди строкового страхування, страхування на дожиття і змішаного страхування відповідно, в кожному з яких страхова виплата здійснюється в момент смерті особи (х). Тоді з попередніх визначень:

_Іог,Г<и, ГО.Т^л, _Гит,Т£л,

1~[0,Т>п, 2~[оп,Т>п, 8 [оТ>д. Очевидно, що

Яз^+Я,, (25.8)

і порахувавши математичне сподівання обох частих, отримаємо

За допомогою рівняння (25.8) знайдемо 2)[£3]:

2)[^8]=2>[^1]+2)[^2]+2Соу(^і" (25.10)

Оскільки соо(г19 г2)=м[г1 г2]-м[г1]Е[г2]

і Zl Zг = 0 для всіх Т, то

сои(гг, г^-оддаг.]--^ - .іі)

Підстановка формул (25.4), (25.6) і (25.11) у (25.10) дає формулу для D[Z3] у термінах актуарної поточної вартості для страхування на випадок смерті строком на п років і для страхування на дожиття.

Відстрочене страхування

Страхування, відстрочене на т років, передбачає виплату відразу після смерті страхувальника лише в тому випадку, якщо він помре не раніше ніж через т років після укладення страхової угоди. Сума, що виплачується, і строк, на який укладено угоду, можуть бути будь-якими зі згаданих вище. Наприклад, безстрокове страхування на випадок смерті, відстрочене на т років, з виплатою на час смерті страхувальника суми, що дорівнює 1, визначається співвідношенням

' [0,"<т, 1 {0,Тйт.

Актуарна поточна вартість такого страхування позначаєть-

ся через т1Ах і дорівнює МАХ = ]и' * Ірхх(г)<&

т

Приклад 25.3. Розглянемо безстрокове страхування на випадок смерті, відстрочене на чотири роки, з виплатою в момент смерті особи (х). Інтенсивність смерті ц для цієї особи дорівнює 0,05. При 6 = 0,10 для розподілу поточної вартості виплат підрахуємо математичне сподівання та дисперсію.

Для будь-яких ц і 6

41 * і ^ ц + 6 Тому для ц = 0,05і6 = 0,10

Лхж!*** =0,1836, Я[2] =-^-е^о.о5+о.2о>_ 1 -,.2 =0 04

1 3 0,05+0,20 9

Страхування зі змінними виплатами

Загальну модель, що визначається формулою (25.1), можна використати в більшості застосувань. Ми використали її стосовно угод страхування життя з постійними виплатами. Також вона може застосовуватись до угод страхування, в яких величина виплат на випадок смерті або зростає, або спадає в арифметичній прогресії протягом усього строку дії страхової угоди або частини цього строку. Цей страховий продукт часто пропонується як додаткове покриття, коли основна страхова угода забезпечує повернення премій, що періодично сплачуються, в момент смерті, або коли ануїтет містить гарантію того, що виплати будуть відповідати обумовленій у цій угоді початковій премії.

Безстрокове страхування на випадок смерті з щорічно зростаючими страховими виплатами, відповідно до яких сплачується 1 у момент смерті протягом першого року, 2 в момент смерті протягом другого року і т. ін., характеризується такими функціями:

Ь|-[" + 1], *£0, о(=и'( і£0, 2=[Т + 1]от, Т£0, де [а] позначає цілу частину числа а.

Актуарна поточна вартість для такого страхування позна-

чається через (ІА)Х і дорівнює М[2]= |[г+1]и' o ,рхя(г)Л

о

Збільшення страхової виплати, зазначеної в страховому договорі, можуть відбуватися частіше або рідше ніж один раз на рік. Для безстрокового страхування на випадок смерті зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік, випла-1

ти становлять - у момент смерті протягом першого з т штер-

т о

валів, на які буде поділений рік, - в момент смерті протягом

т 1

другого такого інтервалу і т. ін., збільшуючись на - в кожно-

т

му наступному інтервалі. Для такого страхування життя

т т

Актуарна поточна вартість - це

т)А)х = М[2Г.

Граничний випадок при т -> со для безстрокового страхування на випадок смерті зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік, є страхуванням з виплатою суми £ в момент смерті і. Відповідні функції мають вигляд Ь( =г, і>0, о, =іУ, г^0, 2 = То7', Г>0.

У цьому випадку актуарна поточна вартість позначається через (ІА)Х. Таке безстрокове страхування на випадок смерті з неперервним збільшенням розміру виплат еквівалентне множині угод безстрокового відстроченого страхування на випа-

док смерті з постійними виплатами1. З цієї еквівалентності випливає, що актуарні поточні вартості для зазначених страхувань однакові. Тобто

ас ао

  • (ТА), = /*о' o ,р,цж(*)<" = І4А.аі1-
  • 0 0

Якщо за будь-якою з таких угод зі збільшенням розмірів виплат т разів на рік виплата на випадок смерті відбудеться лише у випадку, якщо смерть настала не пізніше ніж через п років з моменту укладення угоди, то ця угода називається угодою страхування на випадок смерті строком на п років зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік.

У певному сенсі протилежними до угод страхування на випадок смерті строком на п років з щорічно зростаючими виплатами є угоди страхування на випадок смерті строком на п років з щорічно спадаючими страховими виплатами, згідно з якими в момент смерті, що сталася у першому році, виплачується сума п, у момент смерті, що сталася у другому році, - сума п-1 і т. д., так, що виплата стає нульовою по закінченні п-го року. Такій угоді відповідають функції

о. =< Л и, = о , г > 0, £ = <

' [ 0,і>п, 1 0,Т>п.

Актуарна поточна вартість такої угоди страхування:

(^Чіч )и< о"-ю>- "ял <*>л.

о

Ця угода є протилежною до угоди страхування на випадок смерті строком на п років з виплатами, що щорічно збільшуються, в тому розумінні, що сума їх функцій виплат є постійною і дорівнює п + 1 для строку в п років.

Усі наведені вище позначення для страхових угод з виплатами в момент смерті зведемо в одну таблицю (табл. 26.1).

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші