Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Статистика arrow Математична статистика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Формула Байєса

Формула повної ймовірності дає можливість розрахувати ймовірність Р(А) події А, якщо вона залежить від системи подій-гіпотез Н12,...,Нп, за умовними ймовірностями яких Р(А|Р(а | н2), ". ,Р(а | нп) може відбутися ця подія А. Проте важливим завданням математики є розрахунки умовної ймовірності Р(н, | А) гіпотези ні, якщо відомо, що у випробуванні подія А вже відбулася. Згідно з теоремою множення ймовірностей можна записати Р(н, - А) = Р(Щ - Р(А | ні) = Р(А) - Р(н, | Л).

Звідси

рініа) = р(н 1) oР( А|Я 1) . (3.8)

1 Р( А)

Якщо знаменник Р(А) замінити формулою повної ймовірності (3.7), отримаємо формулу Байєса:

Р(Я,|А) = пР(Д 1)oР(А'Яі) , (3.9)

Е Р( Н,) o Р( А|Ні)

1=1

де н1,н2,...,нп - попарно несумісні події, що утворюють повну групу.

Формула Байєса дає можливість підрахувати "апостеріорні"10 ймовірності р(ні | А) за допомогою "апріорних"11 ймовірностей Р(н) "гіпотез" Я,- .

Приклад 3.7. За умовами прикладу 3.6 викликаний навмання студент відповів на три заданих питання. Яка ймовірність того, що цей студент є: а) відмінно підготовлений; б) підготовлений погано?

Рішення: Висуваємо чотири гіпотези щодо ймовірності появи (у результаті виклику навмання) того чи іншого студента з певною підготовкою:

  • - гіпотеза ні : це був студент, що підготовлений відмінно, ймовірність його появи Р1) = 3/10 = 0,3;
  • - гіпотеза н2 : це був студент, що підготовлений добре, ймовірність його появи Р2) = 4/10 = 0,4;
  • 10 a posteriori (лат.) - на основі досліду.
  • 11 a priori (лат.) - до досліду.
  • - гіпотеза Н3 : це був студент, що підготовлений задовільно, ймовірність його появи Р(Н3) = 2/10 = 0,2;
  • - гіпотеза Н4 : це був студент, що підготовлений погано, ймовірність його появи Р{Н4) = 1/10 = 0,1.

Умовні ймовірності виконання трьох завдань того чи іншого студента з певною підготовкою розраховуються як ймовірності добутку трьох залежних подій (успішного виконання трьох завдань). Згідно з теоремою множення:

  • - умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений відмінно, дорівнюватиме Р(АН,) = (20/20)(19/19)(18/18) = 1;
  • - умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений добре, дорівнюватиме Р(АН2) = (16/20)(15/19)(14/18) = 0,491;
  • - умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений задовільно, дорівнюватиме Р(АН3) = (10/20)-(9/19)o (8/18) = 0,105;
  • - умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовлений погано, дорівнюватиме Р(АН4) = (5/20)o (4/19)o (3/18) ~ 0,009.

За формулою Байєса:

а) ймовірність того, що це був студент, підготовлений відмінно, складає

Р(НЛА) = 4Р(Я1)oР(ЛН 1) , £ Р(Я,) o Р( АЯ,)

або Р(Я1 А) =-°3-1-и 0,58 " 58% ;

  • 0,3 -1 + 0,4 o 0,491 + 0,2 o 0,105 + 0,1 o 0,009
  • б) ймовірність того, що це був студент, підготовлений погано, складає

Р(Я2 А) =-0,1'0,009-" 0,002 " 0,2% .

0,3 -1 + 0,4 o 0,491 + 0,2 o 0,105 + 0,1 o 0,009

Відповідь: ймовірність того, що на всі три питання дав відповідь відмінно підготовлений студент, дорівнює 58%, у той час як ймовірність для погано підготовленого складає лише 0,2%. Отриманий результат також може означати, що процедура іспиту за даними критеріями має доволі високий рівень діагностичних властивостей - порівняйте 58% для відмінника і 0,2% для погано підготовленого студента.

Елементи комбінаторики

Для рішення завдань теорії ймовірностей і математичної статистики важливе значення мають такі математичні поняття комбінаторики, як перестановка, розміщення і комбінація.

Перестановкою з т різних елементів називають такий об'єкт, який складається з цих самих т елементів. Кількість Рт таких об'єктів-перестановок, які відрізняються один від одного лише місцем розташування своїх елементів, розраховується за формулою:

Рт = т!, (3.10)

де т! = 1-2-3-...-т - факторіал числа т (проте 0!=1). Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (т =3) кількість перестановок дорівнює 3!=1-2-3=6, а саме такі перестановки:

а Ь с ; а с Ь ; Ь а с ; Ь с а ; с а Ь ; с Ь а . Розміщенням з п елементів по т називають такий об'єкт, який складається з т елементів, вибраних з п елементів. Причому розміщення з однакових елементів, але з різними місцями їх розташування, вважаються різними. Кількість об'єктів-розміщень Апт розраховується за формулою:

п

Атп = п(п - 1)(п - 2)...(п - т +1) або Ат =---:. (3.11)

п (п - т)! '

Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (п=3) кількість розміщень по два об'єкти (т=2) буде дорівнювати А32 = 3 o 2 = 6, а саме такі розміщення: а Ь ; Ь а ; а с ; с а ; Ь с ; с Ь.

Комбінацією з п елементів по т називають такий об'єкт, який складається з т елементів, вибраних з п елементів. Проте об'єкти-комбінації відрізняються між собою хоча б одним елементом. Кількість таких об'єктів спт розраховується за формулою:

Ст =~Г<-^ аб° Сп ~-і-. (3.12)

т!(п - т)! т!

Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (п=3) кількість комбінацій по два об'єкти (т=2) буде дорівнювати:

С3 ~ 2!(3 - 2)! ~ 1 o 2 o 1 ~ 3, а СаМ£: ° ° ' ° ° ' ° ° . Отже, значення спт (кількість комбінацій з п елементів по т) менше за Апт (кількість розміщень з п елементів по т) у Рт разів, тобто між поняттями комбінаторики існує співвідношення:

Сп = Рг o (з-із)

Приклад 3.8. Яка ймовірність того, що у випробовуванні з випадковим витягуванням шести карток-літер "Е", "П", "Р" і т.д. можна скласти навмання слово "ПРОЦЕС"?

Рішення: Випробовування полягає в витягуванні у випадковій послідовності карток з літерами без повернення. Подія А отримання слова "ПРОЦЕС" є елементарною подією серед перестановок з 6 літер. Кількість перестановок для п=6 визначається як Рт:

Рт = п! = 6! = 1-2-3-4-5-6 = 720.

Звідси ймовірність бажаної події є Р(А) = ~ 0,0014 " 0,14%.

Відповідь: ймовірність скласти навмання слово "ПРОЦЕС" з шести відповідник карток-літер дорівнює 0,14%.

Приклад 3.9. Яка ймовірність скласти навмання слово "МАТЕМАТИКА" з десяти окремих карток-літер?

Рішення: Подія А отримання слова "МАТЕМАТИКА" є елементарною подією перестановок з 10 літер, кількість яких визначається як п!=10!=3628800. Проте деякі літери повторюються ("М" - 2 рази, "А" - 3 рази, "Т" - 2 рази), тому існують перестановки, які не змінюють слова.

Для літери "М" кількість перестановок, що не змінюють слова буде 2!=1 -2=2; для літери "А" - 3!=1 -23=6; для літери "Т" - 2!=Г2=2. Загальна кількість перестановок, що не змінюють слова буде т=2!-3!-2!=1-2-1-2-3-1-2=24.

Звідси ймовірність бажаної події є Р(А) =-" 0,0000066 " 0,0007%.

3628800

Відповідь: ймовірність скласти навмання слово МАТЕМАТИКА дорівнює близько 0,0007%.

Приклад 3.10. Залікове завдання містить 5 питань, на кожне з яких пропонуються дві альтернативні відповіді "ТАК" і "НІ". Правильна відповідь на одне питання оцінюється у 1 бал, неправильна - у 0 балів. Яка ймовірність, відповідаючи навмання, скласти залік, тобто отримати не менш 4-х балів?

Рішення: Подія А успішного складання заліку - це отримання 4-х або 5-ти балів з 5-ти можливих. Ймовірність цієї події Р(А) = Р(4)+Р(5). Залікове випробування містить п'ять елементарних випробувань. Якщо відповідати навмання, то ймовірності кожної бажаної р(1) і кожної небажаної р(0) елементарної події однакові і дорівнюють по 4, тобтор(1) = р(0) = 4 = 0,5.

Звідси ймовірності отримання:

  • 4 бали - Р{4)=р{1Ур{1Ур{1Ур{1уР{0уС54 = 0,55-5 = 5/32 = 0,15625 = 15,625%;
  • 5 балів - Р{5)=р{1Ур{1Ур{1Ур{1Ур{1уС55 = 0,55 1 = 1/32 = 0,03125 = 3,125%.

Загальна ймовірність складання заліку Р(А) = 15,625% + 3,125% = 18,75%.

Відповідь: Згідно умовам ймовірність скласти залік, відповідаючи навмання на 5 питань завдання, дорівнює 18,75% (проте, ймовірність не скласти залік дорівнює 1 - 18,75% = 81,25%).

Запитання. Завдання.

  • 1. Розкрийте означення понять "випробування", "елементарна подія", "простір елементарних подій", "повна група подій", "випадкова подія".
  • 2. Які події називають неможливими і достовірними, незалежними і залежними?
  • 3. Які події називають сумісними і несумісними?
  • 4. Назвіть і охарактеризуйте основні типи операцій над подіями (слідування, еквівалентність, доповнення, добуток, сума).
  • 5. Що таке "ймовірність події" і як визначається класична ймовірність?
  • 6. Які значення мають ймовірності неможливих і достовірних подій?
  • 7. Наведіть формулу для розрахунку суми та добутку ймовірностей сумісних і несумісних подій.
  • 8. За якими формулами розраховують такі елементи комбінаторики, як перестановка, розміщення і комбінація?
  • 9. Сформулюйте означення ймовірності у рамках аксіоматичного підходу.
  • 10. Охарактеризуйте три аксіоми Колмогорова.
  • 11. Що таке "умовна ймовірність"?
  • 12. Наведіть формулу повної ймовірності.
  • 13. Наведіть і поясніть формулу Байєса.
  • 14. Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 3.1 - 3.9.
 
Увага, даний текст має низьку якість розпізнавання
Для отримання якісного зображення скористайтеся доступом до завантаження
одним файлом в форматі Djvu на сторінці Зміст
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші