Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Страхова справа arrow Страхування
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Страхові угоди з виплатами наприкінці року смерті

У попередньому розділі були розглянуті моделі страхування життя, в яких виплати проводилися у момент смерті. На практиці більшість виплат проводяться у момент смерті, отже, відсотки нараховуються до того моменту, як виплати будуть реально проведені. Ці моделі формулювалися в термінах випадкової величини Т - тривалість майбутнього життя страхувальника на момент укладення страхової угоди. Але в більшості практичних застосувань страхування життя найточнішою інформацією про розподіл Т є таблиця смертності, в якій інформація дискретна. Насправді це інформація про випадкову величину К, покрокову тривалість майбутнього життя страхувальника у момент укладення угоди страхування, яка є функцією від Т (розподіл величини К задається формулою (24.11)). У цьому підрозділі будуються моделі страхування життя, в яких величина і час виплат на випадок смерті залежать тільки від кількості повних років, прожитих страхувальником з моменту укладення угоди до моменту його смерті. Надалі будемо називати такі угоди страхування угодами з виплатами, здійснюваними наприкінці року смерті.

Ця модель формулюється в термінах покрокової тривалості майбутнього життя страхувальника. Функція виплат Ьм і функція дисконтування відповідно є величиною виплати і коефіцієнтом дисконтування, що належать до періоду від моменту здійснення виплати назад до моменту укладення угоди, якщо покрокова тривалість життя страхувальника дорівнює ку тобто він вмирає на к + 1-му році з моменту укладення страхової угоди. Поточна, на момент укладення угоди, вартість цієї страхової виплати позначається через гк+х і визначається за формулою

'м-^+іЧм- (25.12)

Якщо виходити з моменту укладення угоди, то номер страхового року, коли відбувається смерть, дорівнює 1 плюс покрокова тривалість майбутнього життя страхувальника К. Як і раніше, поточна вартість ^ = гКЛ.

Для страхування строком на п років при виплаті розміром 1 наприкінці року смерті

Г1,*. = 0,1,..., д-1 Ги*+Г-<и.....п-

ш {0,А*л *+1 [0,Кїп.

Актуарна поточна вартість для такого страхування задається формулою

=М[2]=Хом o кРх-я"к. (25.13)

к 0

Зазначимо, що символ для актуарної поточної вартості страхової виплати, здійсненої наприкінці року смерті, прийнятий у Міжнародній системі актуарних позначень, збігається з відповідним символом для випадку страхової виплати у момент смерті за винятком того, що зникає риска вгорі.

Аналогічно визначається дисперсія:

А=0

Справедливі рекурентні співвідношення для актуарних теперішніх вартостей страхування на фіксований строк

л-1 п-1

А1.п =1У+1кРх o кРх 'Ях+к =

к 0 *=1

п-1

= и o ях + о o рх £ о* ■ к_х р"х ■ дх,к = и ■ ах + (25.14)

*=і

+ и■ рх£o ,Р"і o Ях+иі = "-Я* + оo Рж o А^,^.

1=0

Щоб рівність (25.14) виконувалася при /1 = 1, покладемо

А* бі = о Для всіх х>

Модель для угоди безстрокового страхування, укладеного з особою (де), можна побудувати, спрямувавши п до нескінченності в моделі страхування строком на п років. Для актуарної поточної вартості ми отримаємо формулу

А,=2У"*Р. (26.15)

* 0

Домножуючи обидві частини формули (25.15) на іх, отримаємо иж=£"**Ч... (2б.іб)

Формула (25.16) означає рівність у момент укладання угоди страхування виразів для суми цих актуарних поточних вартостей для Іх осіб, застрахованих у віці х, і для величини, на яку зменшується фонд в результаті очікуваних смертей Іх осіб.

ос

Вираз у^о**1**^ відповідає тій частині фонду у момент укла-

к=г

дення угоди страхування, яка разом із відсотками, отриманими за передбачуваної відсоткової ставки, забезпечить страхові виплати у зв'язку з очікуваними смертями після г-го страхового року.

Аналогічно до рекурентної формулі (25.14) справедлива рекурентна формула для актуарної поточної вартості безстрокового страхування на випадок смерті:

АХ=>'ЯХ + >*Ах.грж. (25.17)

Аналіз співвідношення (25.17) сприяє розумінню природи величини Ах. Після заміни рх на х і помноження обох частин на ( + ї)Іх співвідношення (25.17) можна переписати у вигляді

К (1+04. = КК.х +4, (1- А",), (25.18)

де о =або іЛ-1 -ефективна річна відсоткова ставка. 1+і о

Для сукупності випадкового дожиття це співвідношення має таку інтерпретацію. Разом з відсотками за перший рік величина Ах, помножена на Іх, середня кількість осіб, що дожили до віку х, дає величину АхЛ , помножену на Іх, і, крім того, величину 1-А^,, помножену на число спосіб, смерть яких очікується протягом цього року. Така величина для кожної очікуваної смерті о;,(1-Ал+1) називається річною вартістю страхування.

Ділячи на Іхі потім віднімаючи Ах +9я(1-Де+і) з обох частин формули (25.18), отримаємо

А"1-А. = іАхх(1-А"і). (25.19)

Інакше кажучи, різниця між актуарними поточними вартостями для осіб віку х років і віку х + 1 років дорівнює відсоткам, нарахованим на актуарну поточну вартість у віці х за вирахуванням річної вартості страхування в цей рік.

Інший вираз для Ах можна отримати з формули (25.17), замінивши рх на 1-<7*, помноживши обидві частини на о* і перегрупувавши її члени. В результаті ми отримуємо о"ч" -иМ, = -о*ч(1-а*і). або Ді>*л,=-о",ї,(1-А"І).

Підсумовуючи від х = удосо, отримаємо

-и^-ІУ^Ді-А,.,)

і, таким чином, А^ " £их+І ^дДі-Ая+1). *=]/

Цей вираз показує, що актуарна поточна вартість для віку у дорівнює сумі поточних вартостей у момент у річних вартостей страхування за весь час майбутнього життя страхувальника.

Змішане страхування строком на п років з виплатою розміром 1 наприкінці року смерті є комбінацією розглянутого в цьому розділі страхування строком на п років і страхування на дожиття строком на п років з виплатою розміром 1, про що йшлося в попередньому підрозділі. Такому договору відповідають функції

[о**Л=0,1,...,л-1, ЬкЛ =1,^ = 0,1..... IV, =^

*■=(>, 1.....П-1,

я,1Г = л, .... Актуарна поточна вартість дорівнює

А,Я = ЇУ+1 o шР. o<?,♦. + и" ■ (25-20)

Безстрокове страхування на випадок смерті з виплатою, яка щорічно зростає, коли виплачується к + 1 одиниць наприкінці к + 1-го року дії угоди, якщо страхувальник помре в цьому страховому році, має такі функції виплат, дисконтування і випадкову величину поточної вартості:

Ьк^ =*+1, Л = 0,1, 2, ...,ил+1 =о*+1, /е = 0,1, 2, 2 = (ІГ+1)и*+ К=0,1, 2,....

Його актуарна поточна вартість позначається через ЦА)Х.

Страхування строком на п років з виплатою, яка щорічно зменшується, протягом п -річного періоду передбачає виплату наприкінці року смерті, п-к де к - кількість повних років, прожитих страхувальником з моменту укладення угоди. Відповідні функції мають вигляд

{ті-к,к=0,1,. , о,*:","+і,.., ^=^.^0,1,2,...,

и",^г = П, 71 + 1, ...

Актуарна поточна вартість для цього страхування позначається через (2)А)^.

Як і для угод, у яких виплати проводяться у момент смерті, страхування з виплатою, яка щорічно зростає, еквівалентно комбінації угод відстроченого страхування на випадок смерті з постійними виплатами розміру одиниця. Аналогічно строкове страхування з щорічно спадаючими виплатами еквівалентно комбінації страхових угод з постійними виплатами й різними строками дії.

У строках актуарної поточної вартості це можна записати так: (ЛЩа-й^.

Усі наведені вище позначення для страхових угод з виплатами наприкінці року смерті зведемо у одну таблицю (табл. 25.2).

Наведемо рекурентні співвідношення для актуарних теперішніх вартостей страхування у випадку, коли виплати здійснюються наприкінці року смерті. Значення актуарних теперішніх вартостей варто обчислювати починаючи з найменшого віку, наведеного в таблиці смертності, і до віку у або о.

а) Ах = щх+ирх Ах+1, * = 0,1, ...,со-1, іАш =0.

б) <^="а*+"р*<+іїч*щ>х=°* і,у-і, і а;:51=о.

г) у-*пАх=0+"Рх oу-(х+і)|"^ж+і^ = 0,1,у-1, і0|лд,=а;іп. Ю х = 0,1,у-1, і (іа)' =0.

л; = 0, 1,...,у-1, і СОА)^=0.

е) (М)ж=[од,+иряА,+1]+ирж(М);(+1,

лг = 0, 1, .... <о-1, і (М)"=0.

Співвідношення між страховими угодами з виплатами в момент смерті й наприкінці року смерті

Почнемо вивчення цих співвідношень із аналізу актуарної поточної вартості для угоди безстрокового страхування на випадок смерті, за яким здійснюється виплата розміром 1 у момент смерті. У припущенні рівномірності розподілу моментів смерті в середині кожного річного вікового інтервалу маємо1

АХ=~АХ. (25.21)

Формулу (25.21) можна прокоментувати так. Вплив припущення про рівномірність полягає в тому, що виплати розміром 1, здійснені в момент смерті, еквівалентні виплатам розміром 1 у рік, що здійснюються неперервно протягом усього року, в якому відбулася смерть. Якщо враховувати відсотки, то виплати розміром 1 в рік, здійснені неперервно протягом усього року,

в якому відбулася смерть, еквівалентні виплаті суми - наприкінці цього року. Тотожність (25.21) можна одержати також, використовуючи властивості випадкової величини "тривалість майбутнього життя" у припущенні рівномірності розподілу смертей у річних вікових інтервалах2. Нехай річні інтервали розбиті на т тдінтервалів рівної довжини. Аналогічні міркування, що ґрунтуються на припущенні про рівномірність розподілу смертей у річних вікових інтервалах, можна застосувати на доказ того, що актуарна теперішня вартість безстрокового страхування на випадок смерті з виплатою розміром 1 наприкінці того з цих т тдінтервалів року, в якому відбулася смерть, дорівнює

аг^а,- (26.22)

Тепер проаналізуємо договір страхування на випадок смерті строком на ті років із виплатою, що збільшується щороку, причому виплата здійснюється в момент смерті. Результати для безстрокового страхування на випадок смерті й для строкового страхування на випадок смерті з виплатою, що збільшується, у яких виплати здійснюються в момент смерті, отримані в припущенні рівномірності розподілів смертей у річних

вікових інтервалах, подібні, (ІА)х.В| =^ o(ІА))сіц.

У випадку страхування з виплатами, здійсненими в момент смерті, справедливе диференціальне рівняння1. Для угоди безстрокового страхування на випадок смерті з особою (х) маємо

^А,=-р(х) + АЛ5 + и(х)] = 6Ая-р(д:)(1-Лх), (25.23) ах

що є неперервним аналогом рекурентної формули (25.19).

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші