Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Страхова справа arrow Страхування
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

"Практичні" оцінки ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику, дифузійна апроксимація процесу ризику

Фактично явну формулу для ймовірності банкрутства ц/(и) в класичній моделі ризику, що розглядалася у попередньому підрозділі, можна вказати лише для того випадку, коли виплати страхової компанії розподілені за експоненціальним законом. У цьому ж параграфі ми наводили формулу (27.13) для ймовірності банкрутства тоді, коли виплати є сталими величинами. Але ця ситуація досить рідко трапляється у практичній діяльності страхових компаній, до того ж формула (27.13) є досить складною для обчислень.

Тому останнім часом було докладено багато зусиль на пошуки наближених формул для обчислення функції у(и), що е ймовірністю банкрутства компанії при початковому капіталі и. Розглянемо ці формули.

Перш ніж переходити до їх розгляду, відзначимо дві леми, які будуть використані при обчисленнях.

Лема 27.2і. Якщо У - випадкова величина, яка має експо-неціальний розподіл з математичним сподіванням р, то

МУ = ц, МУ2=2ц2, МУ3=6ц3 (27.23)

і взагалі МУ" =!ц

Лема 27.32. Нехай

V")

Я,=сі-^Ук (27.24)

*=1

це прибуток страхової компанії на відрізку [0, і) у класичній моделі ризику. Тоді характеристична функція випадкової величини ()( дорівнює

Ме"9' = ехр{*(ігс + Х[Ме"у* -1])}. (27.26)

Апроксимація Беекмана-Боверса для (и)

Вперше цю апроксимацію запропонував голландський вчений Дж. Беек-ман1.

Нехай

Н(и) = Р{гаіЯі <-u:infQ, <0}. (27.26)

Тоді

Н(и) = і^^)=1_(1+Є)ч;(и), (27.27)

1-ф(0)

звідки

У(и)=-±~а-Щи)). (27.28)

1 + 0

Нехай |лн та о*н - математичне сподівання і дисперсія, що відповідають розподілу Н(и). Ідея побудови апроксимаційної формули полягає в заміні Н(и) у (22.32) гамма-розподілом ОДі), перші два моменти якого збігаються з моментами Н(и).

Тоді наближена формула для (и) матиме вигляд

  • 4>вв(")=-а-С(и)) = -і- [РІ^-Р*<ід;= (27.29)
  • 1 "г*1"1 -*. =- -е ах,
  • 1 + Єл{Г(у)

" _^цЄ_ 1+Є

Иг+Ш^/^-и^1 У І + а^Рз/Зи^-Щ'

Позначимо к-п момент функції розподілу Дг) виплат УА через рА, тобто

и^ЛГУ,*, Й = 1,2,3. (27.30)

За допомогою перетворення Лапласа - Стілтьєса функції ■Р(г) можна визначити величини ин та оя через моменти функції Р(г) я 2Єц. [Зи2 20^ ]

Алгоритм застосування апроксимаційної формули (27.29) такий':

  • 1) знаходимо перші три моменти ц,,ц28 функції розподілу Щг) (функції розподілу виплат Ук );
  • 2) значення ймовірності банкрутства (їх) обчислюємо за формулою (ЗО), користуючись таблицями гамма-розподілу С?(и), у якого математичне сподівання дорівнює цн, а дисперсія о2н.

Якщо виплати страхової компанії мають експонеціальний розподіл, використовуючи лему 27.2 неважко встановити, що наближена формула (27.29) в цьому випадку є точною.

Апроксимація де Вільдера

Наступна наближена оцінка є однією з найвідоміших та найполулярніших у сучасній акту-арній математиці. Вперше її запропонував бельгійський учений Філіпп де Вільдер2.

Ідея цієї оцінки така: ми апроксимуємо процес (){ у загальній класичній моделі ризику процесом (?(*)" У якого виплати мають експонеціальний розподіл так, щоб

М£* = М£*(г) при к - 1, 2, 3.

За ймовірність банкрутства (и) приймаємо ймовірність банкрутства вуіи) в процесі <3(г), для якого ми знаємо точну формулу.

Процес ф(г) визначається трьома параметрами (X, с, Д) або (X, 9, Д). Використовуючи лему 27.3 та властивості семи інваріант8, можна встановити такі рівності:

Д=І^Є,Є = ^з.вД = -?4х. (27.33)

Зц2 Зц2 г

Отже,

1 -

Ч'(и) = Ч>лн(") =-^е *|+в". (27.34)

1+9

За самою побудовою апроксимації у випадку експонеціаль-ного розподілу виплат у(и) = ?Ву(и)1.

Дифузійна апроксимація для процесів ризику

Наступна апроксимація досить давно відома в загальній теорії випадкових процесів. її вивів Г. Хедвігер2. Показано також, що її можна застосовувати для процесу ризику страхової компанії.

Нехай И - простір функцій на [0,), які неперервні справа і для яких, що існує границя зліва (простір функцій без розривів другого роду).

Означення. Послідовність Хп збігається за розподілом до випадкового процесу X (будемо записувати це так: Хя -^->Х), якщо для будь-якої обмеженої і неперервної функції і на х0

ЕПХа)-*ЕПХ). (27.35)

Використовуючи поняття збіжності за розподілом3, можна встановити таку дифузійну апроксимацію для (и)

Ми)~ув(и)е*^. (27.Щ

Порівняємо цю апроксимацію з апроксимацією Крамера - Лундберга. Константа Крамера - Лундберга - це корінь рівняння

А. 0

Тому

- > | 1 + Яг+- ^(г)-1 = Дц+±Д222).

^ оі 2 / 2

звідси

^2£^ = _2Є^ (27>37)

ц +а2 ц +0^

З цієї нерівності випливає, що

Ч//)(и)^в"Яи.

Експоненціальна апроксимація

Позначимо через р| моменти функції Р(у) розподілу виплат У4 так, що

ц(=Мц', ¿ = 1,2,3.....

Тоді має місце експоненціальна апроксимація, запропонована Ф. де Вільдером1:

■ (27.38)

Апроксимація Лундберга

Використавши оцінку Ове Лундберга2, можна отримати таку апроксимацію ймовірності банкрутства:

І, V ^1/ ^2 ,/

Тут індекс Ь означає "Лундберг", хоча потрібно зазначити, що Лундберг ніколи не пропонував цієї апроксимації, а лише на початку 60-х років XX ст. запропонував оцінку для збіжних послідовностей у теорії випадкових процесів.

Апроксимація Peni. Використовуючи теорему А. Рені1, можна отримати апроксимацію Рені

2М|

Уя(и)=-^"МІ+в). (27.40)

В. Калашников у своїй праці2 показав, що

sup І і|/л (и)- ці (и) |<; Для всіх 0 >0.

Таким чином, ми маємо оцінку зверху абсолютного відхилення апроксимації Рені від точного значення ймовірності банкрутства.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші