Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Страхова справа arrow Страхування
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Інтенсивність смертності

Використовуючи формулу (24.3), отримаємо щільність ймовірності смерті після досягнення віку х. Підставимо у формулу (24.3)2 = *+ Ах

Р(х<Хїх + Ах/Х>х) = Р*ІХ + ^)-Р*іх)*М^. (24.12)

У цьому виразі Fx(x) = fx(x) - щільність неперервної ви-

f(x)

падкової величини X, "вік у момент смерті". Функція --

(1-.?(*)..

у формулі (24.12) може інтерпретуватися в термінах умовної щільності. Для кожного віку х вона дає значення в точці х умовної функції щільності випадкової величини X за умови дожиття до віку х і позначається через і(х). Тоді

MW-T^ff^- <2413)

l-Fx(x) s(x)

З властивостей функцій fx(x) і 1-F(x) маємо, що ц(д:)>0.

У актуарній науці і в демографії и(х) називається інтенсивністю смертності. У теорії надійності, яка досліджує ймовірності безвідмовної роботи механізмів і систем, ця величина називається інтенсивністю відмов.

Як і функція дожиття, інтенсивність смертності може використовуватися для визначення розподілу випадкової величини X. З формули (24.13) для будь-якого додатного у маємо рівність для диференціалів

-u(y)dy = dlns(y). Інтегруючи цей вираз від х до х + п, одержимо

Х+П / v

f / j і s(x + n) , - І u(y)dy = ln--L = nPx.

Тоді

x+n

вр, = ехр{- x(y)dy). (24.14)

x

Іноді зручно переписати формулу (24.14), зробивши заміну t = у - х:

п

прх =ехр{- ji(x+t)dt}. (24.16)

о

Зокрема ми змінимо позначення з тим, щоб вони відповідали використаним у формулі (24.6), поклавши вік осіб, що вже жили, таким, що дорівнює 0, і позначивши вік дожиття через х. Тоді одержимо

X

хРо = s(x) = ехр{- Ju(r)d*}. (24.16)

о

Крім того,

Рх (*) = 1 - а(х) = 1 - ехр{- |ц(г)Л} (24.17)

о

і

х

(*) = ехр{-|ц(0Л>Ц<*)=, Ро И". (24.18) о

Нехай іг(Ж)(г) і позначають відповідно функцію роз-

поділу і щільність Т(х), тривалості майбутнього життя особи (х). Помітимо, що 2^,(0 =і Ч" (див. позначення (24.4)). Таким чином,

/Т(х,(0=-Г иЯх)= - 1--=

йІ ОХ . 8(Х) .

, , У (24.19)

а(х+г)[ 8'(х+*))

8{х) у в(л;+г)>

Отже, ірхл(х + І)йЧ є ймовірністю того, що особа (х) помре у

віці між гИ + йЬ. Очевидно, що ІіРжи(х+*)Л = 1.

о

Формулу (24.19) можна подати у такому вигляді:

~а-А)-~(А)-.^*+*). (24.20)

Оскільки Ііт,,^ прх=0, маємо Ііт^^-Іп прх) = -ко. Таким чином,

х+л

Ііт ( и(і/)гіі/ = +оо.

л->оо * X

Використовуючи наступну формулу теорії ймовірностей Р(А^В)=Р(А)+Р(А)Р(В/ А), де А - доповнення до події А, отримаємо корисну формулу. Нехай А = {Г(дс)^г}, £ = {*<Т(х)£1},0<г<1. Тоді Р(АиВ)=Р(Т(х)й1)=Яя, і)(А)=Ід"аР(В/А)=и дж+г

Отже, дх = Ід" + <рх1_Ідж+<.

x

Таблиці смертності

Таблиця смертності містить розташовані за віком індивідуумів значення основних функцій dx і, можливо, додаткових функцій, які можна отримати з них. Перш ніж навести таку таблицю, розглянемо інтерпретацію таких функцій, яка безпосередньо пов'язана з ймовірнісними функціями, що обговорювалися в попередньому розділі.

Згідно з формулою (24.9) умовна ймовірність того, що особа (х) помре протягом г років, обчислювалась так:

8(Х + І)

*?*=1-ІГТ~

s(x)

і, зокрема,

s(x + l)

ах=1--7~Г'

s(x)

Розглянемо тепер групу з 10 новонароджених, поклавши, наприклад, ^=100000.

Для кожного новонародженого випадкова величина "вік у момент смерті" має розподіл, заданий функцією дожиття $(х). Позначатимемо через Цх) кількість осіб у групі, що дожили до віку х. Припишемо всім особам в групі номери / = 1,2,..., і помітимо, що

де /, - індикатор дожиття особи з номером ], тобто

Ґ1, якщо особа з номером j доживе до віку X, ' 10, інакше.

k

Оскільки Jkf[/j] = e(x), то M[L(x)]=Јm[//] = /0s(x).

Нехай lx = M[L(x)]. Тобто Іх - математичне сподівання кількості осіб, що дожили до віку х з /0 новонароджених, і

K = k s(x). (24.21)

Далі, в припущенні, що індикатори Ij взаємно незалежні, L(x) має біноміальній розподіл з параметрами п = Іь і p~s{x).

Зазначимо, проте, що в рівнянні (24.21) не використовувалося припущення про незалежність.

Аналогічно позначимо через " Лх кількість померлих у віці між х і х + п з початкової сукупності, що складається з людей. Нехай пгів яЛ^["І)Я1. Оскільки для новонародженого ймовірність смерті у віці між х і х + п дорівнює 5(дг)-а(ж + л), використовуючи міркування, що наводилися вище щодо Іх отримаємо

"^ = М["І),]=і0[5(х)-8(лс + л)]=Іх-І"". (24.22)

Якщо п = 1, то опустимо лівий нижній індекс у виразах "І)я і пйх. З формули (24.21) видно, що

і аі* - 1 " йх~

Іх ах з(х) dx -dlx =lxi(x)dx.

(24.23) (24.24)

Оскільки

Співмножник Іхх(х) у (24.24) можна інтерпретувати як очікувану щільність смертей у віковому інтервалі 9 x + dx). Зазначимо, що

/х=4,-ехр

**+"=**-ехр

о

с+л

(24.25) (24.26) (24.27)

Для зручності посилань назвемо групу з ^ новонароджених, кожен з яких має функцію дожиття з(х), сукупністю випадкового дожиття.

Нижче наведено таблицю смертності населення Тернопільської області віком до 10 років1 (табл 24.1). Функції $х, dx та о/л в цій таблиці представлені для ^ =100000. Подібні таблиці не створюються на основі спостереження за 100 000 новонароджених аж до смерті останнього з них, а ґрунтуються на оцінках

ймовірності смерті за умови дожиття до різного віку на основі даних про смертність населення у відповідні роки. Ілюстративні таблиці смертності наведені в деяких роботах1. Зробимо деякі зауваження щодо таблиці.

  • 1. Очікується, що близько 1 % новонароджених, які входять до сукупності дожиття, помруть на першому році життя.
  • 2. До віку 10 років доживе більше 98 % із групи новонароджених.
  • 3. Відносне збільшення кількості смертей очікується для віку 4, 7 та 10 років.
  • 4. Хоча значення Іх було округлено до цілих чисел, відповідно до формули (24.21) це робити не обов'язково.

Таке представлення, як у цій таблиці, є стандартним методом опису розподілу віку в момент смерті. Іншим способом є представлення функції дожиття в аналітичній формі, наприклад в(л:) = е-еж, с>0, х> 0. Однак більшість досліджень смертності для потреб страхування використовує вираз 8(х) =-.

Оскільки величина 100 000 б(х) представлена лише для цілих значень Ху при обчисленні в(х) для нецілих значень аргументу необхідно використовувати інтерполяцію.

Приклад 24.1. Використовуючи таблицю, обчислити ймовірність того, що особа у віці трьох роки:

  • 1) доживе до віку 10 років;
  • 2) помре, не доживши до віку 8 років;
  • 3) помре між 6 та 9 роками.

Згідно з формулою (24.8), ймовірність того, що особа віком трьох років доживе до 10 років, дорівнює £&0)=к=^ 5.

  • 8(3) /з 98 458 Згідно з формулою (24.9), ймовірність того, що особа віком З роки не доживе до віку 8 років, дорівнює *3)-*(8иА = 1_98258
  • 8(3) /з 98458

Згідно з формулою (24.10), ймовірність того, що особа віком 3 роки помре між 6 та 9 роками, дорівнює

в(6)-в(9) ^-^ 98341-98230

=0,0011

в(3) і, 98 458

Перейдемо тепер до другої, неймовірнісної, інтерпретації таблиць смертності. Вона за природою детерміністична і приводить до поняття сукупності детермінованого дожиття, або когорти.

Сукупність детермінованого дожиття, як видно з таблиці смертності, має такі характеристики:

  • o спочатку складається з ^ осіб віку 0;
  • o для членів сукупності в будь-якому віці діють фактичні річні коефіцієнти смертності (вибуття), які визначаються величинами дх в таблиці смертності;
  • o сукупність є замкнутою. До неї не може входити ніхто, крім тих ¿0 осіб, які були в ній на самому початку. Вихід із цієї сукупності обумовлений фактичними річними коефіцієнтами смертності (вибуття) і лише ними.

З наведених вище характеристик маємо

А =*о(1-?.)Ч-<*о.

*г=1| (!-",)=*,-<*, =4-(4,+<*.).

='х-. (1-?.-.)=^, -<*,-, = *> "і/*"

і,=о

*о у=о ,

(24.28)

де Іх позначає число осіб, що дожили до віку х у сукупності дожиття. Число ¿0 називається коренем таблиці смертності. Ці рівності можна переписати так:

*2=кРі=0"Ро)Рі*

К=К-уРх-1

Пл

  • (24.29)
  • 720

Між сукупністю детермінованого дожиття і моделлю складних відсотків є аналогія, деякі положення якої підсумовуються в табл. 24.2.

Таблиця 24.2. Поняття теорії складних відсотків і відповідні їм поняття в теорії сукупностей детермінованого дожиття

Заголовки до стовпців табл. 24.1 для Іх*оІхх9 рх належать до сукупності детермінованого дожиття. Хоча математичні основи для сукупностей випадкового і детермінованого дожиття різні, функції Іх, <іх, 5Х, рх мають однакові математичні властивості і аналізуються однаково. Поняття сукупності випадкового дожиття має перевагу в тому, що воно дає змогу користуватися усім апаратом теорії ймовівностей. Сукупність детермінованого дожиття концептуально простіша і її легше використовувати, хоча вона не відображає випадкових коливань чисельності тих, хто дожив до певного віку.

Далі отримаємо вирази для основних числових характеристик розподілів випадкових величин Т(х) і К(х) і виведемо загальний метод обчислення деяких з цих характеристик.

Математичне сподівання Т(х), що позначається через ех, називається повною очікуваною тривалістю життя. Використовуючи формулу (24.20), отримаємо

00

ех = Аї [Т( х)] = j* o ,pjix+t)d t =

  • 0 (24.30)
  • 00 00

= f*4(-,a)-*-(-,p,)t +*-,Р***-

0 0

З існування M[T(x)] випливає співвідношення Mmt-(-tpx) = 0. Таким чином,

І-мо

Z = ),P,dt- (24.81)

0

Повна очікувана тривалість життя у різному віці часто використовується для порівняння рівнів охорони здоров'я країн.

Аналогічно підраховується другий момент:

00 00

М[Т(дс)г] = іг ■ ,рхіх(х+t)dt = 2 tPldt.

0 0

Тоді дисперсія дорівнює

Л[Г(*)] = М[Г(*)1]-(М[Г(*)])2 =2j* ,P,dtMx)

о * '

Медіану тривалості майбутнього життя особи {х)9 яка позначається через т(х), можна знайти як розв'язок рівняння

р(г(х)>т(*))4 або *("*у> Л 2 s(*) 2

відносно m(x). У конкретному випадку тп(0) є розв'язком рівняння s(m(0)) = l/2.

Модою розподілу випадкової величини Т(х) буде те значення t, за якого значення функції tpxu(x+t) буде максимальним.

Математичне сподівання випадкової величини К(х) позначається через ех. Ця величина називається покроковою очікуваною тривалістю життя. Ті числові характеристики дорівнюють:

■*" 00 00 00

ех = M[K]=^k-kPxq"k = Y,4kpx - Mpa) = Y,^iPx=Y,kPx

*=0 *=0 *=0 h 1

М[ЛГ(*)2] = £*2 o кр,д", = £(2Л+1)- мРг =£(2Л-1)- ,р,;

*=0 *=0 я=1

ВД = М[ЛГЇ]-(М [А"])' = ¿(2/8-1) іЛ -4.

Символ Ьх означає загальну очікувану кількість років, прожитих між віком х та х + 1 особами з цієї групи, що містить /0 новонароджених, які дожили до віку х. Тоді

  • 00
  • 0

де інтеграл у правій частині дорівнює числу років, прожитих тими, хто помер у віковому інтервалі між х та х +1, а Іх+1 дорівнює числу років, прожитих у віковому інтервалі між х та х + 1 тими, хто дожив до віку х + 1. Інтегрування частинами дає і і і

ь" - - * o +Ь + +'"і =

0 0 0

Функція Ьх також використовується при визначенні вікового коефіцієнта смертності в інтервалі між х і х + 1, який позначається через тх, де

і

т _ 0 _ *х *дг+1

0

Наведені вище визначення для тх і Ьх можна поширити на вікові інтервали довжиною більшою від одиниці.

п п

"ьх=- і імі(х+ті+п ■ і"я=імйі,

о

п

[і^ріх+фЛ о

Для сукупності випадкового дожиття пЬх є загальною очікуваною кількістю років, прожитих у віковому інтервалі між хіх + п для осіб, що дожили до віку х з вихідної групи, що містить /о новонароджених, а птх є віковим коефіцієнтом смерт

0

п

m =4--=л

ності, що можна спостерігати для цієї групи на інтервалі (х, х + п).

Символ Тх означає загальну кількість років, прожитих після досягнення віку х особами, що дожили до цього віку з вихідної групи, яка має ^ новонароджених. Маємо

  • 00 00 00
  • 0 0 0

Останній вираз можна інтерпретувати як інтеграл від загального часу, прожитого між віком х + гіх + * + Л групою з Іх+і осіб, що дожили до цього вікового інтервалу. Звернемо також увагу, що Тх є межею величини ЛЬХ> коли п прямує до нескінченності.

Середня кількість років майбутнього життя для Іх осіб з групи, що дожили до віку х, визначається виразом

т }"* -г o

*дс *х 0

відповідно до формул (24.30) і (24.31).

Знайдемо вираз для середньої кількості років, прожитих між віками х і х + п групою з Іх осіб, що дожили до віку х:

я

т Jх+< т -Т

і " / " І -}*Р*'

іх іх ьх 0

Ця функція є зрізаною (на п -річному інтервалі) повною

очікуваною тривалістю життя для осіб (х) і позначається о

Через ЄхЯ.

Останньою функцією, пов'язаною з інтерпретацією таблиці смертності, є середня кількість років, прожитих між віком X та х +1 тими особами в групі, що дожили до віку х, які вмирають у деякий момент між цими віками. Ця функція позначається через а(х) і визначається співвідношенням

і

а(ж)-*,-.

іхии(х + і)(іі о

За ймовірніснісного погляду на таблиці смертності отримали б і

/*'іАЦ(*+*)Л а(х)=±1-= М[Т/Т<1].

о

Якщо припустити, що Іх+і х(х + ї)сІЇ = х(Іі, 0 < £ < 1, тобто моменти смерті рівномірно розподілені всередині річного вікового інтервалу, то отримаємо

а(х)= ]*<** = -.

о *

Це звичайне наближення функції а(х), придатне для осіб різного віку, окрім зовсім юних і дуже старих, де це припущення може не відповідати дійсності.

Справедлива рівність Ьх =а(х)Іх +

Деякі аналітичні закони смертності

У табл. 24.3 наводяться кілька сімейств простих аналітичних функцій смертності й дожиття, що відповідають різним відомим законам. Для зручності посилань наведені назви законів, що лежать у їхній основі, і дати публікації.

Зазначимо такі факти:

o спеціальні символи визначаються формулами т =-,

и~-;

+ т "

o закон Гомперца є контактним випадком закону Мейке-

ма при А = 0;

  • o якщо с = 1 у законах Гомперца й Мейкема, то отримаємо експонеціальний (постійна інтенсивність смертності) розподілу;
  • o доданок А у законі Мейкема не залежить від віку і відповідає смертності від нещасних випадків, у той час як доданок Всх описує вплив віку на смертність (старіння) і в цьому сенсі відповідає смертності від "природних" причин.

Таблиця 24.3. Функції смертності й дожиття для різних розподілів

Нижче зібрано основні поняття, згадані в цьому розділі, відповідні терміни, позначення й описи (табл. 24.4).

Таблиця 24.4. Основні позначення розділу 24

Закінчення табл. 24.4

Висновки

  • 1. У цьому розділі розглянуто основні моделі тривалості життя. Основними елементом цих моделей є тривалість майбутнього життя.
  • 2. Роглянуто основні ймовірностні характеристики моделі тривалості життя: функція дожиття, ймовірності смерті, по-крокова тривалість майбутнього життя.
  • 3. Важливою характеристикою моделі тривалості життя є інтенсивність смертності.
  • 4. Незамінним компонентом багатьох моделей актуарної математики є таблиці смертності.
  • 5. Між сукупністю детермінованого дожиття і моделлю складних відсотків є аналогія.
  • 6. У законах смертності Гомперца й Мейкема найчастіше використовуються в моделях тривалості життя.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Тривалість майбутнього життя; функція дожиття; покро-кова тривалість майбутнього життя; інтенсивність смертності; таблиці смертності; сукупність випадкового дожиття; сукупність детермінованого дожиття; корінь таблиці смертності; повна очікувана тривалість життя; покрокова очікувана тривалість життя; віковий коефіцієнт смертності; зрізана повна очікувана тривалість життя; закони смертності; закон Гомперца; закон Мейкема.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші