Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Страхова справа arrow Страхування
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

МОДЕЛЬ КОЛЕКТИВНОГО РИЗИКУ

  • 26.1. Точні та наближені методи розрахунку ймовірності банкрутства.
  • 26.2. Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли.

Так само, як і в моделі індивідуального ризику, у моделі колективного ризику аналізується відносно короткий проміжок часу та припускається, що плата за страховку повністю надходить на початку періоду, що аналізується. Однак у моделі колективного ризику весь портфель укладених угод страхування розглядається як єдине ціле, без розрізнення окремих угод, що його складають. Отже, модель колективного ризику базується на таких спрощувальних припущеннях:

  • 1) аналізується фіксований, відносно короткий проміжок часу (отже, можна нехтувати інфляцією і не враховувати дохід від інвестування);
  • 2) плата за страховку повністю вноситься на початку аналізованого періоду; ніяких нових надходжень протягом цього періоду немає;
  • 3) позови ^,У2,що надходять не пов'язуються з конкретними договорами, а розглядаються як результат сумарного ризику компанії. Тобто У( - це не позов від і-ї угоди, а і-й за черговістю позов, що реально надійшов; випадкові величини У, - незалежні і однаково розподілені;
  • 4) як основну характеристику портфеля розглядають не кількість укладених угод ТУ, а загальну кількість позовів v за період, що аналізується. Випадкова величина v та величини Уі, У2,... - незалежні.

Численні дослідження показали, що реальні дані з практики страхування про кількість позовів за фіксований проміжок часу добре описуються за допомогою пуассонівського та від'ємного біноміального розподілу (цей факт тісно пов'язаний з моделюванням процесу позовів як пуассонівського процесу).

Друга важлива відмінність моделі колективного ризику від моделі індивідуального ризику полягає в тому, що випадкові величини У,,У2,..., які описують величини послідовних позовів, є однаково розподіленими. Це припущення означає певну рівноцінність позовів, пов'язану з тим, що позови розглядаються як наслідок загального ризику компанії, а не індивідуальних угод з їх специфічними особливостями. Крім того, важливо підкреслити, що випадкові величини У1 описують тільки позови, які реально надійшли, і тому на відміну від величин X,, що фігурували у моделі індивідуального ризику, є строго додатними.

У моделі колективного ризику банкрутство визначається сумарним позовом 5 = У^+... + Уу до страхової компанії. Якщо цей сумарний позов більший, ніж резерви компанії и, то компанія не зможе виконати свої зобов'язання і стає банкрутом. Тому ймовірність банкрутства компанії визначається як

( у "

Д=Р £У, >и. (26.1)

Слід зазначити, що у межах моделі колективного ризику також не можна дати відповідь на багато практично важливих питань. Наприклад, не можна оцінити момент банкрутства, величину капіталу, якого не вистачає в цей момент, тощо.

Точні та наближені методи розрахунку ймовірності банкрутства

Оскільки ймовірність банкрутства пов'язана із сумою випадкового числа доданків, то застосовуючи формулу повної ймовірності дістанемо

ґ V 00 ( v

Щи) = Р уі =£Р £У,>и/у = л Р(у = /і).

<І=1 у п=0 ^1=1 у

Позначимо пп=Р(у = п) - розподіл числа позовів. Оскільки випадкові величини v, У,,Уж,... - незалежні, а

( v

Р ^У,>и/у = 0 =0,

4=1 у

то

Я(и) = £р(ху, >"]o*.. (26.2)

л=1 V 1=1 /

Імовірності Р(У, +... + Уя >и) можна визначити через розподіл сум незалежних і однаково розподілених випадкових величин (формула згортки (23.2)).

Якщо величина У4 - неперервна, то

М ) и л

де /у+...+Ув (х) - щільність суми ^Уі- Тоді формула (26.2) матиме такий вигляд: 1=1

Д(и) =}&(*)<**, де /а (х) = х71"^+...+уя (х) - щільність сумарного позову.

п=1

Якщо величини ^ - дискретні, то

1=1 ) *=и+1

( " ^

ДеРу1+...+уя() = р еУі=* o Чі=і )

Тоді формула (26.2) набуде вигляду Д(")= І Р,(к),

ж, к=и*

де P8(k) = Јl*"PYt*...+YmW -розподіл сумарного позову.

Приклад 26.1. Припускається, що кількість позовів за місяць описується геометричним розподілом з параметрами

з = 0,95 і р = 0,05. Тобто тс" = Р(у = п) = 0,95" 0,05 iMv = -= 19.

P.

Позови, що надійшли, мають експонеціальний розподіл із середнім 1000 грн. Визначити залежність ймовірності банкрутства від капіталу компанії.

Для розрахунків зручно прийняти 1000 грн за одиницю виміру грошових сум. Тоді P(Yt <*)=!-e~*,Jt>0. У підрозділі 21.3 було вказано, що сума п незалежних випадкових величин, ЯКІ мають експоненціальний розподіл з параметром X, має гамма-розподіл з параметрами X та а = п. У нашому випадку

хп~1

Х = 1, тому /у, iV (х) =--е'х,х>0. Далі,

/sW=ЙUit">tri (*) = £о,95п 0,05.-^--е' =

п 1 п=1 (п -1)1

=0,0475 е-*.£^^. = 0,0475 е^051.

CD 00

Отже, R(u)= jf8(x)dx=0,0475- je^'dx = 0,9 5-є'0'06".

и и

Наприклад, для забезпечення ймовірності банкрутства на рівні 5 % необхідно розв'язати рівняння 0,95*е~0'05и =0,05. Розв'язком рівняння буде ц" 58,888, тобто 58 888 грн.

Для обчислення розподілу суми незалежних випадкових величин зручно застосовувати спеціальні функції: генератри-си (для дискретних величин) та перетворення Лапласа (для довільних додатних величин). Позначимо через

генератрису числа позовів, а через

Ф(")=ФУі (з) = |е"*£Р(У, <*)= Ме"г',8 > 0

о

перетворення Лапласа величини поданого позову (оскільки всі позови, що подаються, однаково розподілені <р(з) і не залежать від номера і позову). Тоді для перетворення Лапласа у (з) = Ме' сумарного позову маємо:

V (з) = Ме в(у'+™*пї = £ М (е"'(У) / V = л ) o Р(V = п) =

"=0ж (26.3)

^^(е^^'^^фМГ я. =*(ф(*)).

п 0 п=0

Якщо індивідуальні позови мають дискретний розподіл рп, то сумарний позов також має дискретний розподіл. У цьому

випадку прийнято працювати з генератрисами #(г) = .

= МгУ( = ^гпл та С(г) = Мг8 а не з перетвореннями Лапласа.

п=о

Аналогом формули (26.3) буде таке співвідношення:

О(г) = *0?(г)). (26.4)

З формули (26.3) диференціюванням за 5 в точці 5 = 0 можна одержати формули для математичного сподівання МБ та дисперсії Л& сумарного позову. Оскільки у'(0) = -М5 і у'(0)=л'(ф(0))-ф'(0), Ф(0) = 1, тс'(1)=Му, ф'(0) = -МУ, то

М5 = МУ-Му. (26.5)

Далі (0)=тс" (ф(0))-(ф'(О))2 + тс'(ф(0))-фя (0). Враховуючи, що к" (1)=Мч(у-1)=Му2 - Му = 1>у+(Му)8 - Му та ф" (0)= = ЛГУ2=Х)У+(МУ)2, У(0)=М5а=І>5+(М5)2, одержимо

+ (МЯ)2 = (і)у + (Му)2 - Му) ■ (МУ )2 + Му o (Х)У + (МУ )*).

Тоді беручи до уваги (26.5), маємо

= £>у o (МУ)2 + £>У o Му. (26.6)

При описі моделі колективного ризику (26.1) не робилося конкретних припущень про вид розподілів кількості позовів у за аналізований проміжок часу і величини індивідуального позову У. Проте, як зазначалося в розділі 22, реальні статистичні дані і загальні міркування про характер надходження позовів показують, що у добре описується пуассонівським або невід'ємним біноміальним розподілом. Для розподілу величини позовів У є значно більше можливостей, але все-таки клас можливих розподілів не дуже широкий (дискретні розподіли, експоненціальний розподіл, розподіл Парето, гамма-розподіл). Специфічні припущення про характер розподілів випадкових величин v і У дають змогу встановити ряд додаткових властивостей моделі колективного ризику.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші