Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Інформатика arrow Моделирование сложных сетей
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Часть II. Алгоритмы, методы, феномены

Некоторые методы и приемы

Вторая часть пособия представляет собой в значительной мере методические заметки для лектора. Введение этого материала в курс лекций зависит как от предпочтений лектора, так и от подготовленности аудитории.

Часть материала необходима для более глубокого понимания основной части (например, материал, связанный с теорией протекания или теорией фазовых переходов второго рода). Другая часть материала - то, что как считается "знает каждый образованный человек", но как правило (на удивление) не читается в стандартных курсах. В основном, это, так называемые, приемы, позволяющие получить, пусть и приближенно и не всегда математически строго, результат. "Чистых" математиков такие методы не интересуют, а если они и излагаются, то на таком уровне "глубокой" теории, что о конкретном применении и речи не идет.

В качестве примера таких приемов можно назвать метод малого параметра (без которого не обходится ни один прикладник), или, например, исключительно полезный метод аппроксимант Паде.

Даже в том случае, когда задачу удается решить точно, строгое решение может быть настолько громоздким, что удобнее пользоваться приближенным решением. Здесь мы приведем пример из книги Гринберга, который наглядно показывает, что решение полученное "в лоб", стандартным методом разделения переменных, может давать совершенно "несъедобное" решение.

Простая краевая задача

1. Пример одной простой краевой задачи математической физики, или о том, как надо и как не надо решать задачи.

Граничная задача первого рода или задача Дирихле (внутренняя) для прямоугольника

Стандартный метод решения разделение переменных:

для аналитической реализации которого потребовалось пять страниц текста.

В классических учебниках (например Тихонова и Самарского) практически нигде не учат приемам, а учат общим методам.

Г.А. Гринбергу, которому приходилось заниматься расчетом конкретных приборов, необходимо было получать конкретное решение, а не "теорему о его существовании в данном классе функций". Г.А. Гринбергом был разработан метод, позволяющий получать решения с хорошо сходящимися рядами как для самого решения, так и ее производных. Этот метод принципиально отличается от метода разделения переменных - в упомянутой книге этот метод четко сформулирован - подчеркивается, что решение полученное таким образом не является суммой частных решений предложенного уравнения, а дает разложение решения в ряд по некоторым собственным функциям уравнений.

Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. - М.; Л.: Академия наук СССР, 1948. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.). -М.: Наука, 1977. -735 с.

Рассмотрим совсем простой пример, приведенный в книге Гринберга, который даже не требует применения указанного выше метода.

Стандартное решение задачи Дирихле базируется на разделении переменных и приводит к выражению:

Где и являются суммами произведений:

где граничные условия представлены в общем виде:

Теперь нас интересует конкретный случай, когда

т. е.:

Тогда, согласно вышеизложенному, подставляя эти значения в ряды для и(Г) и и(2) находим:

Это весьма сложное выражение, представляющее собой две бесконечные суммы, по виду которого невозможно понять, как ведет себя решение. Легко непосредственно убедиться, что уравнение удовлетворяет условию:

а так как решение единственно, то это и есть решение, т.е. вместо сложных рядов можно использовать лишь простое выражение.

Так в чем же заключается в рассмотренном случае "прием"? Его суть можно сформулировать таким образом: Прежде чем решать уравнение мат. физики, попробуй сделать подстановку для упрощения:

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші