Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Інформатика arrow Моделирование сложных сетей
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Самоорганизованная критичность

Под системой, порождающей информацию, чаще всего предполагают реальную социальную или

экономическую систему, ожидать от которой простой предсказуемой информации или единообразного поведения не приходится. В реальной системе информационное событие можно рассматривать в каком-то смысле как катастрофу, поскольку оно неожиданно.

Если в большинстве случаев предсказание отдельного события кажется невозможным, то поведение системы в целом, ее отклик на воздействие или возмущение частично предсказуемо и является объектом научного исследования.

Термин "самоорганизация" (self-organizing), связанный с общей теорией систем, был введен В. Ашби (V. Ashby) в 1947 году и воспринят новой тогда кибернетикой, ее создателями Н. Винером (N. Winner), Г. Форстером (G. Forster) и др. В настоящее время это понятие чаще всего ассоциируется с именем П. Бака (P. Bak). В 1987-1988 году П. Бак, Ч. Танг (C. Tang) и К. Визенфельд (K. Wiesenfeld) в своих работах [70, 71] впервые детально описали клеточный автомат, приводивший систему к статистически одному и тому же "критическому" состоянию, названному ими состоянием самоорганизованной критичности. Типичная стратегия физики заключается в уменьшении количества степеней свободы в исследуемой задаче, например, в теории среднего поля, где окружение воздействует на оставшуюся степень свободы системы как некоторое среднее поле, оставляя для исследования только одну переменную.

Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of 1/f-noise. Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 59. - pp. 381-384. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality. Phys. Rev. A., 1988. -Vol. 38. - № 1. - pp. 364-374.

Самой наглядной моделью, демонстрирующей самоорганизованную критичность, является куча песка, знакомая каждому с детства. Если песок сухой, то никакой кулич из него не построить, все тут же осыпается. В детские годы мало кто задумывался о том, как это происходит. Какой бы высоты куча не была, угол наклона конуса осыпания оставался неизменным, Это еще раз в эксперименте доказали в эксперименте выросшие дети, в Чикагском университете под руководством Х. Ягера (H. Yager) они экспериментировали с самой настоящей кучей песка. Состояние этой кучи можно назвать критическим, поскольку приложив минимальное возмущение, бросив сверху одну песчинку, поверхность кучи выйдет из равновесия, вниз сойдет лавина. А после ее схода останется снова куча песка поменьше, новые падающие песчинки достроят кучу до того же критического наклона, а новая брошенная песчинка вновь вызовет лавину. Куча всегда находится в критическом состоянии - малые возмущения вызывают реакцию, непредсказуемую по размеру, и всегда самоорганизуется сохраняет угол наклона поверхности (рис. 3.10.1).

Коробка и вращающийся барабан с песком с одинаковым углом наклона боковой плоскости

Рис. 3.10.1 - Коробка и вращающийся барабан с песком с одинаковым углом наклона боковой плоскости

При моделировании самоорганизованной критичности исследуется статистика схода лавин, когда одна брошенная песчинка вызывает лавину из других, лежащих на поверхности.

Рассмотрим дискретную систему, аналогичную куче песка в одномерном случае. Пусть Ъ(х) - высота кучи в точке

Кучу удобно изображать в двух видах - исходном (рис. 58 а) как функцию высоты от координат

Ъ = Ъ( х) и в виде приращений

Которые показывают отличие высот в соседних точках - рис. 58 б. Левые части рис. 57 показывают начальное состояние кучи.

Введем правило 1: если разница высот в точке х больше некоторого критического значения

То лишние песчинки скатываются на соседние точки. Выбирая критическое значение Ьс = 3 правило 1 можно записать следующим образом:

Первое соотношение означает, что высота кучи в точке х уменьшается на две песчинки, второе, что в соседних точках (левой и правой) высота увеличится на одну песчинку.

На границах кучи будут выполняться граничные условия 1:

Первое из условий 1 можно назвать "закрытым", поскольку наружу системы частица при этом никогда не выйдет, в противоположность "открытым" условиям на другой стороне, когда частица скатывается наружу и падает.

На рис. 3.10.2 слева изображено начальное состояние кучи - высоты }}(х) и приращения г(х), справа – после осыпания. Так, например, при х = 6 приращение до осыпания было равно г (6) = 3 > 2. После осыпания, две песчинки с позиции х = 6, переходят по одной налево х = 5 и направо х = 7 - рис. 3.10.2 слева.

С одной стороны правило 1, это дискретное нелинейное уравнение диффузии а, с другой стороны, это клеточный автомат, в котором состояние ячейки х в момент времени £ + 1 определяется состоянием/соседних ячеек в предыдущий момент времени £. Графически действие правила 1 можно представить так, как это сделано на рис. 58.

Очевидно, что у одномерной кучи, когда она осыпается согласно правилу 1 и условиям 1 из неравновесного состояния с г(х)>> 2, есть одно критическое состояние г(х) = 2 для любого х В одномерном случае любое стабильное состояние является в определенном смысле критическим, поскольку любое малое возмущение будет приводить к тому, что оно пройдет по всей системе, а любое уменьшение наклона до г(х)< 2 в любой точке остановит его. Это очень похоже на другие одномерные критические явления, такие как перколяция. Также следует отметить, что у такого состояния в одномерной модели нет пространственной структуры.

Аналогично одномерному П. Бак предложил правило для двумерной кучи (правило 2 и условия 2). В такой системе сохраняется действие правил 1 для каждого из направлений х и у , критическое значение традиционно выбирается равным 3:

Одномерная куча до и после осыпания. Осыпался столбец 6 и крайний правый столбец 11 с

Рис. 3.10.4 - Одномерная куча до и после осыпания. Осыпался столбец 6 и крайний правый столбец 11 с "открытыми" граничными условиями

Указан вариант "закрытых" граничных условий 2 по всем направлениям. Конечно возможна любая комбинация "открытых" и "закрытых" условий. Условия 2 также могут быть модифицированы для "настоящей" кучи, насыпанной в углу, скажем, обувной коробки. Решетки, на которых строились самоорганизующиеся критические системы также разнообразны, например, проводились эксперименты на квадратных решетках в больших размерностях, на гексагональных решетках были даже получены точные аналитические результаты. Аналогичные клеточные автоматы возможно построить и на нерегулярных решетках.

Соответствие между величиной г(х, у) и наклоном кучи не такое однозначное, как в Ш, поскольку теперь значение наклона г х, у) представляет собой средний наклон по диагонали системы и при осыпании частицы начнут двигаться в обоих направлениях х и у. В двумерном случае уже нельзя говорить о том, что из неустойчивого состояния с г х, у) "4 система перейдет в одно и то же состояние, поскольку неустойчивость будет распространяться по обоим направлениям взаимозависимо. Конечное состояние системы будет существенно зависеть от начальных условий, но свойства этого получившегося состояния, например, наклон, будут всегда одинаковыми.

Получить систему в состоянии самоорганизованной критичности можно двумя различными способами. Либо осыпанием системы из случайного состояния с і( х, у) " 4 до равновесного состояния, либо насыпая на ровную поверхность і(х,у) = 0 песчинки одну за другой в случайно выбранных точках и выполняя процедуру согласно правилу 2 тогда, когда это будет необходимо. Определить момент когда система достигает критического уровня можно по тому, средний наклон кучи перестанет изменяться. Эксперимент показывает, что свойства систем полученных обоими способами не отличаются друг от друга.

Результаты, приведенные ниже, получены на квадратной решетке в двумерном случае согласно определенным ранее правилам и условиям. Сначала случайным образом выбирались і(х, у)"4, после чего проводилась "релаксация" кучи и она осыпалась до устойчивого состояния. На рис. 59 представлено одно из таких стабильных состояний на двумерной решетке 500 х 500, где цвета от черного до белого соответствуют значениям і(х,у) от 0 до 3.

Если в одной из наиболее неустойчивых точек системы (в нашем случае і(х,у) = 3), запустить процесс по правилу 2 с условиями 2, положив і(х,у) = 4, т.е. добавить одну песчинку,

то система начнет осыпаться, покатится лавина песка. Для каждой такой точки х, у системы, область, затронутая осыпанием, будет различна. На рис. 3.10.4 представлены несколько таких лавин, полученных осыпанием. Исходной послужила система, изображенная на рис. 3.10.3. Центры лавин отмечены на фоне белых снежных лавин черными точками, а пары цифр в скобках обозначают время осыпания и размер лавины.

Стабильное состояние

Рис. 3.10.3 - Стабильное состояние

Определим - функцию распределения размеров возникающих лавин. Чтобы получить эту функцию, в каждой точке системы, где г(х,у) = 3 положим I(х, у) = 4 и запустим сход лавины, определим ее площадь - 5, для получения достаточного количества лавин обработаем таким образом несколько систем в самоорганизованном состоянии, получая их из случайного начального состояния с I(х, у)" 4 . На рис. 61 а) представлен вид зависимости Щз), полученный обработкой набора систем размера 500 х 500. Распределение размеров лавин подчиняется степенному закону:

Лавины, полученные осыпанием

Рис. 3.10.4 - Лавины, полученные осыпанием

Аналогично возможно исследовать и временные характеристики этого процесса, введя Д(ґ) - функцию распределения времен осыпания этих лавин. В общем случае площадь 5 лавины больше, чем время ее осыпания ґ, поскольку в один момент осыпаются несколько песчинок. Распределение развития лавин также подчиняется степенному закону:

Распределения (а) размеров лавин D(s) и (б) времен их осыпаний D(t)

Рис. 3.10.5 - Распределения (а) размеров лавин D(s) и (б) времен их осыпаний D(t)

Безусловно, индексы т и а связаны как друг с другом, так и с другими индексами, характеризующими самморганизованное критическое состояние.

Размер "лавины" новостей, возникающих в информационных потоках при появлении новой темы порой кажется непредсказуемым, однако вполне поддается моделированию. Например, степенные распределения количества тематических публикаций, вполне соответствуют приведенным выше распределениям размеров рассматриваемых лавин "песка". В последнее десятилетие моделирование информационных процессов с помощью методов клеточных автоматов и теории самоорганизованной критичности получили большое распространение.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші