Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Екологія arrow Природний, техногенний та екологічний ризики: аналіз, оцінка, управління
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Методи теорії нечітких множин і нечіткої логіки

Основи теорії нечітких множин і нечіткої логіки були закладені наприкінці 1960-х років у працях відомого американського математика Лотфі Заде. Його праця “Fuzzy Sets”, опублікована у 1965 р. в журналі “Information and Control”, стала поштовхом до розвитку нової математичної теорії. Він дав назву і новій галузі науки – “fuzzy sets” (fuzzy – нечіткий, розмитий, м'який). Основною причиною появи нової теорії стали нечіткі і наближені міркування, що використовувались для опису людиною процесів, систем, об'єктів. Математична теорія нечітких множин (fuzzy sets) і нечітка логіка (fuzzy logic) є узагальненнями класичної теорії множин і класичної формальної логіки.

Перш ніж нечіткий підхід до моделювання складних систем отримав визнання в усьому світі, минуло не одне десятиліття. Що ж запропонував Л. Заде? По-перше, він розширив класичне канторовське поняття множини, припустивши, що характеристична функція (функція належності елемента множині) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0, 1], а не тільки значень 0 або 1. Такі множини він назвав нечіткими [21]. Л. Заде визначив також низку операцій із нечіткими множинами і запропонував узагальнення методів логічного висновку.

Ввівши згодом поняття лінгвістичної змінної і припустивши, що її значеннями (термами) є нечіткі множини, Л. Заде створив апарат для опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість і невизначеність виразів (наприклад, високий, середній, незначний ризики).

Завданням нечітких множин є визначення належності деякого об'єкта чи елемента до заданої множини. Нехай Е – деяка множина, а А – підмножина Е, тобто А Ì Е. Той факт, що елемент х множини Е належить і множині А у теорії множин позначають так: x Ì А. Щоб виразити цю належність, можна скористатися й іншим поняттям – характеристичною функцією μA(x), значення якої вказують, чи є (так або ні) х елементом А:

Згідно з теорією нечітких множин, характеристична функція належності може набувати будь-якого значення в інтервалі [0, 1], а не тільки два – 0 і 1. Відповідно до цього, елемент хi множини Е може не належати А (μΑ (х) = 0), бути елементом А невеликою мірою (значення μA(x) близьке до нуля), бути елементом А значною мірою (μA(x) близьке до 1) або бути елементом А (μA(x) = 1). Отже, поняття належності узагальнюється. Нечітку під множину А універсальної множини Е позначають Ан і визначають упорядкованими парами [22]:

Характеристична функція належності (або просто функція належності) μA(x) набуває значень у деякій упорядкованій множині М (наприклад, М = [0, 1]). Ця функція належності вказує ступінь (або рівень) належності елемента х до підмножини А. Множину М називають множиною надежностей. Якщо М = {0, 1}, то нечітку підмножину А можна розглядати як звичайну або чітку множину.

Для нечітких множин, як і для звичайних, визначено основні логічні операції.

Рівність. Дві нечіткі множини А і В називають рівними, якщо для всіх x Î Е має місце рівність їх характеристичних функцій: μA(x) = μB(x). Позначення: А = В.

Домінування. Вважають, що нечітка множина А належить нечіткій множині В, якщо для всіх X Î Е справедливе співвідношення: μA(x) £ μB(x); позначають: А Ì В. Іноді використовують термін “домінування”, тобто коли А Ì В, кажуть, що В домінує над А.

Доповнення. Нехай М = [0, 1], А і В – нечіткі множини, задані на Е. А і В доповнюють один одного, якщо ∀x є Εμ/,(х) = 1 – μB(χ). Позначення: А = А.

Перетин двох нечітких множин (нечітке “І”), що позначають AВ – найбільша нечітка підмножина, яка знаходиться одночасно в А і В. Визначають так:

Об'єднання двох нечітких множин (нечітке “АБО”), що позначають АВ – найменша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією належності

Різниця двох нечітких множин АВ = АВ з функцією належності

Нехай М = [0,1] і А – нечітка множина з елементами х з універсальної множини Е і множиною значень функцій належності М. Величину називають висотою нечіткої множини А. Нечітка множина А є нормальною, якщо її висота дорівнює 1, тобто верхня межа її функції належності дорівнює 1 (). За нечітку множину називають субнормальною.

Нечітка множина є порожньою, якщо . Непорожню субнормальну множину можна нормалізувати за формулою

Наочне подання операцій над нечіткими множинами. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладено значення μA(x), на осі абсцис – у довільному порядку розміщені елементи Е. Якщо множина Е за своєю природою впорядкована, то цей порядок бажано зберегти в розміщенні елементів на осі абсцис. Таке подання унаочнює прості операції над нечіткими множинами.

Нехай А – нечіткий інтервал між 5 і 8, а В – нечітке число, близьке до 4 (рис. 4.4, а, б) [23].

Нечітку множину між 5 і 8 I (AND) близько 4 (темна лінія) ілюструє рис. 4.4, в, нечітку множину між 5 і 8 АБО (OR) близько 4 – рис. 4.4, г (темна лінія).

Приклади нечітких множин (а, б), їх перетину (в) та об'єднання (г)

Рис. 4.4. Приклади нечітких множин (а, б), їх перетину (в) та об'єднання (г)

Для опису нечітких множин уводять поняття нечіткої і лінгвістичної змінних. Нечітку змінну описує набір <β, X, A>, де β – назва змінної, X – універсальна множина (область визначення β), A – нечітка множина на X, що описує обмеження на значення нечіткої змінної β.

Значеннями лінгвістичної змінної можуть бути нечіткі змінні, тобто лінгвістична змінна знаходиться на вищому рівні, ніж нечітка змінна. Кожна лінгвістична змінна складається з: назви; множини своїх значень, що також називається базовою терм- множиною Т. Елементи базової терм-множини є назвами нечітких змінних; універсальної множини Х синтаксичного правила G, за яким генеруються нові терми із застосуванням слів природної або формальної мови; семантичного правила Р, яке кожному значенню лінгвістичної змінної ставить у відповідність нечітка підмножина множини X.

Лінгвістичну змінну описує набір <β, Τ, X, G, M>, де

  • • β – найменування лінгвістичної змінної;
  • Т – множина її значень (терм-множина), що є назвами нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; множину Т називають базовою терм-множиною лінгвістичної змінної;
  • G – синтаксична процедура, що дає змогу оперувати елементами терм-множини T, зокрема генерувати нові терми (значення);
  • М – семантична процедура, що дає змогу перетворити кожне нове значення лінгвістичної змінної, утвореної процедурою G, на нечітку змінну, тобто сформувати відповідну нечітку множину.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Інші