Навігація
Головна
ПОСЛУГИ
Авторизація/Реєстрація
Реклама на сайті
 
Головна arrow Природознавство arrow Прогнозування сейсмостійкості споруд під час вибухів циліндричних зарядів
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Алгоритм і метод розрахунку двомірних хвильових процесів у ґрунтовому масиві

Для вирішення поставленої задачі був обраний кінцево-різницевий метод у рухомій Лагранжевій системі координат з рухомою сіткою, що автоматично розширюється в кінці кожного обчислювального циклу з використанням кінцево-різницевої схеми типу "хрест" [149].

Оскільки рівняння руху записуються в координатах Лагранжа, необхідно перетворити похідні в змінних Ейлера до змінних Лагранжа. Позначимо змінні Лагранжа через k, l , а Ейлерові координати наступним чином:- радіальна координата вузла сітки,- осьова координата. На початку, вся область, що досліджується (ПД та гірська порода), розбивалась прямокутною сіткою з кроками, що рівномірно збільшуються по обох координатах та змінюються за наступними законами:

(2.28)

Вибір нерівномірного кроку хоча і веде до збільшення похибки, але дозволяє вести розрахунки на значних областях. У результаті такого розбиття розрахункова область покривається сіткою прямокутників. У силу симетрії задачі достатньо розглянути верхній правий квадрант площини roz. Циліндричний об'єм, що розглядається, утворюється в результаті обертання прямокутника навколо осі симетрії oz (рис. 2.1).

Користуючись інтегральними визначниками частинних похідних, для довільної функції F можна записати:

(2.29)

де С – границя області А; s – довжина дуги;

– вектор дотичної (рис. 2.2, а);

– вектор нормалі:

(2.30)

Область осьового перерізу циліндра в прямокутній циліндричній системі координат.

Рис. 2.1. Область осьового перерізу циліндра в прямокутній циліндричній системі координат.

Застосовуючи ці формули до чотирикутника 1,2,3,4, площа якого рівна А (рис. 2.2, б), отримаємо для функції F, визначеної в вершинах чотирикутника:

(2.31)

Звідси слідує формула для частинної похідної:

(2.32)

Область інтегрування функцій: С – границя області A, s – довжина дуги, / – вектор дотичної, п – вектор нормалі (a); чотирикутник 1, 2, 3, 4, площею А (б); площі трикутників a, b, при обертанні яких навколо осі симетрії z утворюється об'єм (в); площа інтегрування I, II, III, IV (г).

Рис. 2.2. Область інтегрування функцій: С – границя області A, s – довжина дуги, / – вектор дотичної, п – вектор нормалі (a); чотирикутник 1, 2, 3, 4, площею А (б); площі трикутників a, b, при обертанні яких навколо осі симетрії z утворюється об'єм (в); площа інтегрування I, II, III, IV (г).

Аналогічним чином визначається похідна по z:

(2.33)

Введені подібним чином величини дають значення похідних і у центрі чотирикутника.

Використовуючи введені кінцево-різницеві формули для похідних, можна записати вирази для і у заданій точці простору в даний момент часу. У даній різницевій схемі визначається значення швидкостей при прирості часу на півкроку і значення просторових координат при зміні часу на повний крок.

Введемо наступні позначення:

де і – площі чотирикутників у часі і відповідно.

Тоді кінцево-різницеві співвідношення приводять до точної рівності:

яка рівносильна рівнянню нерозривності в плоскому випадку.

Очевидно, бажано, щоб кінцево-різницева схема володіла цією властивістю, так як це зводить до нуля помилку апроксимації при чисельному інтегруванні кожного з членів рівняння (2.33).

Розглянемо тепер рівняння неперервності в циліндричних координатах для випадку осьової симетрії відносно осі z:

(2.34)

де V – об'єм, який утворюється при обертанні площі А навколо осі z, при цьому:

(2.35)

де – площі трикутників а і b (рис. 2.2, в).

Апроксимація третього члена рівняння виражається наступним чином:

(2.36)

Для обчислення прискорення параметр F з рівняння (2.32) і (2.33) визначається в центрі прямокутника. Площею інтегрування тепер буде площа I, II, III, IV, вказана на рис. 2.2, г.

Відповідні кінцево-різницеві рівняння для і-й та j-й компонент прискорення набудуть вигляду:

(2.37)

В якості площі І, II, III, IV береться середня з площ чотирикутників

Область зайнята середовищем, ділиться на чотирикутники сіткою, яка рухається разом з середовищем. Введемо наступні позначення для центрів та вершин чотирикутників (рис. 2.3, а):

Маса, що відповідає кожному чотирикутнику в початковий момент часу, визначається множенням початкової щільності на об'єм тіла, отриманого обертанням чотирикутника навколо осі z. Наприклад, для чотирикутника 1 початкова маса обчислюється за формулою:

(2.38)

де- площа трикутника а;

- площа трикутника b.

Аналогічно обчислюються маси інших чотирикутників у момент часу . Площі трикутниківіу момент часувизначаються наступним чином:

(2.39)

Об'єми обчислюються за співвідношеннями:

(2.40)

Рівняння руху центруються в точці l, к; відповідні позначення дані на рис. 2.3, а, де

Координатна сітка всередині області (а), що розраховується, фіксована границя по осі z (б) і по осі r (в).

Рис. 2.3. Координатна сітка всередині області (а), що розраховується, фіксована границя по осі z (б) і по осі r (в).

Для визначення швидкості маємо наступні співвідношення:

(2.41)

(2.42) де

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

В області гідродинамічних течій тиск у ПД обраховується за формулами:

(2.47)

Слід відмітити, що для ПД:

(2.48)

Для розрахунку деформацій у гірській породі на часовому шарі використовується наступна формула:

(2.49)

Зв'язок між напруженнями та деформаціями встановлюється відповідно до формул:

(2.50)

У випадку пластичних деформацій співвідношення між відповідними деформаціями і напруженнями записуються у вигляді:

(2.51)

з використанням енергетичної умови міцності:

(2.52)

У випадку, якщо масив складений м'яким ґрунтом для розрахунку тиску на кожному часовому шарі доводиться вести ітераційний процес із використанням методу простих ітерацій. Рівняння для визначення тиску на кожному шарі по часу має вигляд

(2.53)

Ітераційний процес ведеться до тих пір, поки не буде виконуватися наступна умова:

(2.54)

де – досить мале наперед задане число (у розрахункахприймалося рівним77а); k – номер ітерації.

Для девіаторних складових тензора напружень ґрунту справедливі співвідношення

(2.55)

Далі обчислюється штучна в'язкість. Для квадратичної в'язкості справедлива формула:

(2.56)

Де

Величинаобчислюється тільки при, у протилежному випадку

Лінійна в'язкість обчислюється за формулою:

(2.57)

де;

а – місцева швидкість звуку.

Величинатакож обчислюється тільки при, у протилежному випадку

Повні напруження визначаються згідно виразів:

(2.58)

(2.59)

(2.60)

Далі проводиться апроксимація граничних умов. Для границь по осі z вводяться уявні коміркиза допомогою дзеркального відображення через границю (рис. 2.3, б). Точціставиться у відповідність прискорення відповідно рівнянню руху для звичайної точки, але з врахуванням таких умов:

(2.61)

Ці формули забезпечують правильні значення для прискорень вздовж границі, однак, при використанні їх за наявності вільної поверхні вони стають неефективними, так як точка, що розглядається буде мати лишню масу, відповідно уявним коміркам. Тому краще розраховуватиза формулою:

(2.62)

Таким чином, рівняння для прискорення точкищо дає такі ж результати як і рівняння для звичайної точки, має вигляд:

(2.63)

Для фіксованої границі по осітакож вводяться уявні комірки (рис. 2.3, в). Точціставиться у відповідність прискорення відповідно рівнянню руху для звичайної точки, але з врахуванням таких умов:

(2.64)

Врахування впливу відображення відносно осі, що приводить до рівнянь для звичайної точки можна провести шляхом використання наступних рівнянь для прискорення в точці :

(2.65)

При наявності кутової комірки, яка розміщена по осі z (рис. 2.4) для точки к, j виконуються наступні умови:

(2.66)

При наявності кутової комірки, розміщеної по осі r (рис. 2.5) для точки виконуються такі умови:

(2.67)

Для вільної поверхні в точці(рис. 2.6) всі величини, що відносяться до уявних комірокі, приймаються рівними нулю. Після чого використовуються рівняння руху для звичайної точки, тільки для обрахування величинвикористовуються формули:

(2.68)

Кутова комірка, розміщена по осі z: 1 – вільна поверхня, 2 – нерухома границя.

Рис. 2.4. Кутова комірка, розміщена по осі z: 1 – вільна поверхня, 2 – нерухома границя.

Кутова комірка, розміщена по осі r: 1 – вільна поверхня.

Рис. 2.5. Кутова комірка, розміщена по осі r: 1 – вільна поверхня.

Вільна поверхня (1) в точці j,k.

Рис. 2.6. Вільна поверхня (1) в точці j,k.

Для кутової точки вільної поверхні уявними будуть комірки (рис. 2.7). Відповідно, виконуються наступні співвідношення:

(2.69)

Крок за часовою координатою вибирався відповідно умові міцності типу фон Неймана та Рихтмайєра [144] та має для даної різницевої схеми наступний вигляд:

(2.70)

де а – місцева швидкість звуку, величина b при виконанні умови обраховується за формулою:

(2.71)

привеличина;

– константа;

– характерна величина комірки, що розраховується, дорівнює відношенню її площідо найбільшої діагоналіі визначається

наступним чином:

(2.72)

Кутова точка j,k вільної поверхні (І).

Рис. 2.7. Кутова точка j,k вільної поверхні (І).

Якщо в процесі розрахунків виходить, що, то береться, що, при цьому:

(2.73)

Якщо в процесі розрахунків виходить, що, то береться, що, при цьому:

(2.74)

У процесі розрахунку первинна сітка (кількість кроків по координатах і) розширялась. Наступний шар по якій-небудь з координат добавляється при умові досягнення тиском значення, рівного (- атмосферний тиск) хоча б в одній із точок шару.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Банківська справа
БЖД
Бухоблік та Аудит
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Нерухомість
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
РПС
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Техніка
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси